Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt

Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu?
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 32, matura 2011 maj

Pewien turysta pokonał trasę \( 112 \)km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o \( 3 \) dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o \( 12 \) km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.

Oznaczmy jako \( d \) liczbę dni, przez jaką szedł turysta, oraz przez \( k \) liczbę kilometrów, jaką każdego dnia przeszedł. Mamy \[ d\cdot k=112 \] Z treści zadania dodatkowo wiemy, że gdyby szedł \(d+3\) (trzy dni więcej) dni idąc \(k-12\) (12 mniej) kilometrów dziennie przeszedłby tę samą trasę. Czyli \[ (d+3)(k-12)=112 \]

Mamy układ równań \[ d\cdot k=112 \\ (d+3)(k-12)=112 \] Wyliczymy z pierwszego równania \(d\) i podstawimy jego wartość do drugiego równania. \[ \begin{matrix} d\cdot k=112 & /:k \end{matrix}\\ d=\frac{112}{k} \] Podstawimy do drugiego równania i wyliczymy \(k\): \[ \left(\frac{112}{k}+3\right)(k-12)=112\\ \] Wymnożymy lewą stronę równania \[ \frac{112}{k}k+\frac{112}{k}(-12)+3k+3(-12)=112\\ \begin{matrix} 112+\frac{112}{k}(-12)+3k+3(-12)=112 & /-112 \end{matrix}\\ \begin{matrix} \frac{112}{k}(-12)+3k-3\cdot12=0 & /:3 \end{matrix}\\ \begin{matrix} \frac{112}{k}(-4)+k-12=0 & /\cdot k \end{matrix}\\ -448+k^2-12k=0\\ k^2-12k-448=0 \] Mamy równanie kwadratowe zapisane w postaci ogólnej, czyli postaci \( f(x)=0 \), gdzie \(f(x)\) to funkcja kwadratowa zapisana w postaci ogólnej.
Współczynniki tego równania to: \[ \class{color1}{a}=1\\ \class{color2}{b}=-12\\ \class{color3}{c}=-448 \] Rozwiążemy to równanie, czyli wyliczymy miejsca zerowe funkcji \(f(x)\).
Policzymy \(\bigtriangleup\) \[ \bigtriangleup=\class{color2}{b}^2-4\class{color1}{a}\class{color3}{c}=(-12)^2-4\cdot1\cdot(-448)=144-4\cdot(-448)=\\ =144+1792=1936 \] Delta (\(\bigtriangleup\)) jest większa od zera, mamy więc dwa miejsca zerowe. Wyliczymy je \[ k_1=\frac{-\class{color2}{b}-\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}\\ k_2=\frac{-\class{color2}{b}+\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}\\[1em] \sqrt{\bigtriangleup}=\sqrt{1936}=44\\[1em] k_1=\frac{-\class{color2}{b}-\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}=\frac{-(-12)-44}{2\cdot1}=\frac{12-44}{2}=\frac{-32}{2}=-16\\ k_2=\frac{-\class{color2}{b}+\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}=\frac{-(-12)+44}{2\cdot1}=\frac{12+44}{2}=\frac{56}{2}=28 \] Naturalnie turysta nie podróżował ujemnej liczby kilometrów. Zatem odpowiedź to:
Turysta przechodził dziennie 28 kilometrów.

Drukuj

Polub nas
Rozwijaj swoje SocialMedia!
Skorzystaj z Naszego nowego Projektu!
Kup Like na Facebook, Instagram, Youtube!