Oznaczmy jako \( d \) liczbę dni, przez jaką szedł turysta, oraz przez \( k \) liczbę kilometrów, jaką każdego dnia przeszedł. Mamy \[ d\cdot k=112 \] Z treści zadania dodatkowo wiemy, że gdyby szedł \(d+3\) (trzy dni więcej) dni idąc \(k-12\) (12 mniej) kilometrów dziennie przeszedłby tę samą trasę. Czyli \[ (d+3)(k-12)=112 \]
Mamy układ równań
\[
d\cdot k=112 \\
(d+3)(k-12)=112
\]
Wyliczymy z pierwszego równania \(d\) i podstawimy jego wartość do drugiego równania.
\[
\begin{matrix}
d\cdot k=112
&
/:k
\end{matrix}\\
d=\frac{112}{k}
\]
Podstawimy do drugiego równania i wyliczymy \(k\):
\[
\left(\frac{112}{k}+3\right)(k-12)=112\\
\]
Wymnożymy lewą stronę równania
\[
\frac{112}{k}k+\frac{112}{k}(-12)+3k+3(-12)=112\\
\begin{matrix}
112+\frac{112}{k}(-12)+3k+3(-12)=112
&
/-112
\end{matrix}\\
\begin{matrix}
\frac{112}{k}(-12)+3k-3\cdot12=0
&
/:3
\end{matrix}\\
\begin{matrix}
\frac{112}{k}(-4)+k-12=0
&
/\cdot k
\end{matrix}\\
-448+k^2-12k=0\\
k^2-12k-448=0
\]
Mamy równanie kwadratowe zapisane w postaci ogólnej, czyli postaci \( f(x)=0 \), gdzie \(f(x)\) to funkcja kwadratowa zapisana w postaci ogólnej.
Współczynniki tego równania to:
\[
\class{color1}{a}=1\\
\class{color2}{b}=-12\\
\class{color3}{c}=-448
\]
Rozwiążemy to równanie, czyli wyliczymy miejsca zerowe funkcji \(f(x)\).
Policzymy \(\bigtriangleup\)
\[
\bigtriangleup=\class{color2}{b}^2-4\class{color1}{a}\class{color3}{c}=(-12)^2-4\cdot1\cdot(-448)=144-4\cdot(-448)=\\
=144+1792=1936
\]
Delta (\(\bigtriangleup\)) jest większa od zera, mamy więc dwa miejsca zerowe. Wyliczymy je
\[
k_1=\frac{-\class{color2}{b}-\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}\\
k_2=\frac{-\class{color2}{b}+\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}\\[1em]
\sqrt{\bigtriangleup}=\sqrt{1936}=44\\[1em]
k_1=\frac{-\class{color2}{b}-\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}=\frac{-(-12)-44}{2\cdot1}=\frac{12-44}{2}=\frac{-32}{2}=-16\\
k_2=\frac{-\class{color2}{b}+\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}=\frac{-(-12)+44}{2\cdot1}=\frac{12+44}{2}=\frac{56}{2}=28
\]
Naturalnie turysta nie podróżował ujemnej liczby kilometrów. Zatem odpowiedź to:
Turysta przechodził dziennie 28 kilometrów.