|
Objętość ostrosłupa wyraża się wzorem \[ V=\frac{P_p\cdot H}{3} \] Gdzie \(P_p\) to pole podstawy, a \(H\) to wysokość ostrosłupa. Wiemy, że wysokość tego ostrosłupa to krawędź \(AD\) o długości \(12\). Należy więc policzyć pole podstawy.
Zapiszmy na rysunku długości z treści zadania. Dodatkowo zaznaczmy kąty proste \(DAB\) i \(DAC\) (\(DA\) to wysokość ostrosłupa, zatem pada na podstawę pod kątem prostym).
Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta \(DAB\), aby policzyć długość \(AB\). Mamy
\[
|AB|^2+12^2=13^2 \\
\begin{matrix}
|AB|^2+144=169
&
/-144
\end{matrix} \\
|AB|^2=169-144\\
\begin{matrix}
|AB|^2=25
&
/\sqrt{\hspace{1em}}
\end{matrix}\\
|AB|=\sqrt{25}=5
\]
Długość boku podstawy \(|AB|\) to \(5\).
Analogicznie można policzyć długość boku \(|AC|\), będzie ona także równa \(5\), dlatego że znów mamy trójkąt prostokątny o przyprostokątnej długości \(12\) i przeciwprostokątnej długości \(13\).
Długości boków podstawy to \(6\), \(5\) i \(5\). Podstawa jest zatem trójkątem równoramiennym. Narysujemy ten trójkąt zaznaczając wysokość dzielącą go na dwa trójkąty prostokątne.
Policzymy wysokość podstawy korzystając z twierdzenia Pitagorasa
\[
3^2+h^2=5^2 \\
\begin{matrix}
9+h^2=5^2
&
/-9
\end{matrix}\\
h^2=25-9 \\
\begin{matrix}
h^2=16
&
/\sqrt{\hspace{1em}}
\end{matrix}\\
h=\sqrt{16}=4
\]
Pole trójkąta to połowa długości podstawy razy wysokość, policzymy pole podstawy
\[
P_\bigtriangleup=\frac{6\cdot4}{2}=12
\]
Możemy teraz policzyć objętość ostrosłupa
\[
V=\frac{P_p\cdot H}{3}=\frac{12\cdot12}{3}=4\cdot12=48
\]
Odpowiedź: objętość tego ostrosłupa to \(48\).
