Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu w świetnej cenie? Kliknij tutaj
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
zadaniamatematyczne@op.pl
Napisz wiadomość

Zadanie nr 31, matura próbna 2012 listopad

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe \( 24 \), a kąt płaski ściany bocznej przy podstawie ma miarę \( \alpha \) i \( \text{tg}\alpha=2 \). Wyznacz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma jednakowe ściany boczne, będące trójkątami równoramiennymi, oraz podstawę będącą trójkątem równobocznym.
Narysujemy taki ostrosłup, zaznaczając kąt płaski ściany bocznej przy podstawie (\(\alpha\)). Dodatkowo oznaczymy długość boku podstawy jako \(a\), oraz na niebiesko trójkąt, którego przyprostokątne mają długość \( h \) oraz połowę tego długości boku podstawy, czyli \( \frac{a}{2} \). α h a a/2 Wiemy, że tangens kąta \( \alpha \) wynosi 2. Tangens to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \( \alpha \) i długości przyprostokątnej leżącej przy kącie \( \alpha \). Czyli w przypadku kąta \( \alpha \) to stosunek \( h \) i \( \frac{a}{2} \). \[ \text{tg}\alpha=\frac{h}{\frac{a}{2}} \\ \begin{matrix} 2=\frac{h}{\frac{a}{2}} & /\cdot \frac{a}{2} \end{matrix} \\ 2\frac{a}{2}=h \\ a=h \] Wysokość ściany bocznej jest równa długości podstawy ściany bocznej. Wiemy, że pole powierzchni bocznej jest równe \( 24 \). Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa, to suma pól trzech trójkątów, będących ścianami bocznymi, które jak wyliczyliśmy mają wysokość \( a \) i długość podstawy \( a \). Mamy zatem: \[ 24=3\cdot P_\bigtriangleup \\ 24=3\cdot \left(\frac{a\cdot h}{2}\right) \\ \begin{matrix} 24=3\cdot \left(\frac{a\cdot a}{2}\right) & /:3 \end{matrix}\\ \begin{matrix} \frac{24}{3}=\frac{a^2}{2} & /\cdot 2 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 8\cdot 2=a^2 & /\sqrt{\hspace{1em}} \end{matrix} \\ \sqrt{16}=\sqrt{a^2} \\ a=4 \] Długość podstawy ściany bocznej to \( 4 \). Wcześniej wyliczyliśmy, że \( h =a \), więc także \( h=4 \).

Zaznaczymy na rysunku kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. Zaznaczymy także wysokość ostrosłupa (pada ona na punkt przecięcia wysokości). β 4 Widzimy, że mamy trójkąt prostokątny, który tworzą wysokość ściany bocznej (mająca długość \( 4 \)), wysokość ostrosłupa oraz część wysokości podstawy. W trójkącie wysokości przecinają się dzieląc się na odcinki w proporcjach \( 1:2 \). Zatem część podstawy w zaznaczonym trójkącie to \( \frac{1}{3} \) wysokości podstawy.
Policzymy długość wysokości podstawy, wiedząc, że to trójkąt równoboczny o bokach długości \( a=4 \), oraz że w takim wypadku wysokość ma długość \[ h_p=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3} \] Jak już wspomnieliśmy w pomarańczowym trójkącie jedną z przyprostokątnych jest jedna trzecia wysokości podstawy, czyli \[ \frac{1}{3}2\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3} \] Cosinus kąta \( \beta \) to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie \( \beta \) do długości przeciwprostokątnej, więc w naszym przypadku \[ \text{cos}\beta=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{4}\class{mathHint hintDzielToMnozPrzezOdwrot}{=} \frac{2\sqrt{3}}{3}\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{3}}{6} \]

Drukuj

Polub nas