Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu w świetnej cenie? Kliknij tutaj
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 30, matura próbna 2012 listopad

Prosta \( y=x+4 \) przecina okrąg o równaniu \( (x+1)^2+(y-2)^2=25 \) w punktach \( A \) i \( B \). Oblicz współrzędne punktów \( A \) i \( B \), a następnie oblicz obwód trójkąta \( ABS \), gdzie \( S \) jest środkiem danego okręgu.

Znajdziemy punkty \( A \) i \( B \). Punkty te leżą na okręgu i na prostej, więc ich współrzędne spełniają zarówno równanie okręgu jak i równanie prostej. Rozwiążemy więc układ równań \[ \left\{ \begin{matrix} y=x+4 \\ (x+1)^2+(y-2)^2=25 \end{matrix} \right. \] Podstawimy \( y \) z pierwszego równania do drugiego równania. \[ (x+1)^2+((x+4)-2)^2=25 \] Wymnożymy to i przeniesiemy wszystko na jedną stronę \[ (x+1)^2+((x+4)-2)^2=25 \\ x^2+2x+1+(x+2)^2=25 \\ x^2+2x+1+x^2+4x+4=25 \\ \begin{matrix} 2x^2+6x+5=25 & /-25 \end{matrix} \\ 2x^2+6x+5-25=0\\ \begin{matrix} 2x^2+6x-20=0 & /:2 \end{matrix} \\ x^2+3x-10=0 \] Mamy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, czyli postaci \[ \class{color1}{a}x^2+\class{color2}{b}x+\class{color3}{c}=0 \] Rozwiążemy je wyliczając deltę, licząc pierwiastki. Współczynniki równania to \[ \class{color1}{a}=1 \\ \class{color2}{b}=3 \\ \class{color3}{c}=-10 \] \[ \bigtriangleup =\class{color2}{b}^2-4\class{color1}{a}\class{color3}{c}=3^2-4\cdot1\cdot(-10)=9-(-40)=49 \] Delta jest większa od zera, mamy zatem dwa miejsca zerowe. Wyliczymy je \[ \sqrt{\bigtriangleup}=\sqrt{49}=7 \\ x_1=\frac{-\class{color2}{b}-\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}=\frac{-3-7}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5 \\ x_2=\frac{-\class{color2}{b}+\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}=\frac{-3+7}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2 \] Weźmy \( x_1=-5 \) i podstawmy do równania prostej. \[ y=-5+4=-1 \] Zatem jeden z punktów przecięcia prostej i okręgu to \( (-5,-1) \). Policzymy współrzędną \( y \) drugiego punktu. Podstawimy \( x_2 \) do równania prostej \[ y=2+4=6 \] Drugi punkt przecięcia prostej i okręgu to \( (2,6) \). Zatem mamy \( A=(-5,-1) \) i \( B=(2,6) \).

Równanie okręgu zapisane jest w postaci kanonicznej, czyli postaci: \[ (x-\class{color1}{a})^2+(y-\class{color2}{b})^2=\class{color3}{r}^2 \] Gdzie punkt \( (\class{color1}{a},\class{color2}{b}) \) to środek okręgu, a \( \class{color3}{r} \) to promień okręgu. Zatem w naszym przypadku środek okręgu ma współrzędne \( (-1,2) \).

Policzymy obwód trójkąta \( ABS \), czyli trójkąta, którego wierzchołki to \( A=(-5,-1) \), \( B=(2,6) \) i \( S=(-1,2) \). Obwód trójkąta to suma długości jego boków. Policzymy długości jego boków korzystając z faktu, że długość odcinka o końcach w punktach \( (x_A,y_A) \) i \( (x_B,y_B) \) to \( \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \).
Policzymy długość boku o końcach w punktach \( A=(-5,-1) \) i \( B=(2,6) \) \[ |AB|=\sqrt{(-5-2)^2+(-1-6)^2}=\sqrt{(-7)^2+(-7)^2}=\\ =\sqrt{49+49}=\sqrt{49\cdot2}\class{mathHint hintRozPierwWzglMnoz}{=}\sqrt{49}\sqrt{2}=7\sqrt{2} \] Policzymy długość boku o końcach w punktach \( A=(-5,-1) \) i \( S=(-1,2) \) \[ |AS|=\sqrt{(-5-(-1))^2+(-1-2)^2}=\sqrt{(-5+1)^2+(-3)^2}=\\ =\sqrt{4^2+9}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 \] Policzymy długość boku o końcach w punktach \( B=(2,6) \) i \( S=(-1,2) \) \[ |BS|=\sqrt{(2-(-1))^2+(6-2)^2}=\sqrt{(2+1)^2+4^2}=\\ =\sqrt{3^2+16}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \] Zatem obwód trójkąta będzie miał długość: \[ \text{O}_\bigtriangleup=7\sqrt{2}+5+5=10+7\sqrt{2} \] Odpowiedź: Współrzędne punktów przecięć to \( A=(-5,-1) \) i \( B=(2,6) \), a obwód trójkąta \( ABS \) wynosi \( 10+7\sqrt{2} \).

Drukuj

Polub nas