|
Oznaczmy jako \( t \) liczbę godzin, przez jaką jechał kolarz, oraz przez \( v \) liczbę kilometrów, jaką przejeżdzał średnio w ciągu godziny (jego średnia prędkość).
Mamy
\[
v\cdot t=114
\]
Z treści zadania dodatkowo wiemy, że gdyby jechał \(t+2\) (dwie godziny więcej) godzin jadąc średnio \(v-9{,}5\) (9,5 kilometra na godzinę mniej) kilometrów na godzinę przejechałby tę samą trasę.
Czyli
\[
(v-9{,}5)(t+2)=114
\]
Mamy układ równań
\[
v\cdot t=114 \\
(v-9{,}5)(t+2)=114
\]
Wyliczymy z pierwszego równania \(t\) i podstawimy jego wartość do drugiego równania.
\[
\begin{matrix}
t\cdot v=114
&
/:v
\end{matrix}\\
t=\frac{114}{v}
\]
Podstawimy do drugiego równania i wyliczymy \(v\):
\[
\left(\frac{114}{v}+2\right)(v-9{,}5)=114\\
\]
Wymnożymy lewą stronę równania
\[
\frac{114}{v}v+\frac{114}{v}(-9{,}5)+2v+2(-9{,}5)=114\\
\begin{matrix}
114+\frac{114}{v}(-9{,}5)+2v-19=114
&
/-114
\end{matrix}\\
\frac{114}{v}(-9{,}5)+2v-19=0\\
\begin{matrix}
\frac{-1083}{v}+2v-19=0
&
/\cdot v
\end{matrix}\\
2v^2-19v-1083=0
\]
Mamy równanie kwadratowe zapisane w postaci ogólnej, czyli postaci \( f(v)=0 \), gdzie \(f(v)\) to funkcja kwadratowa zapisana w postaci ogólnej.
Współczynniki tego równania to:
\[
\class{color1}{a}=2\\
\class{color2}{b}=-19\\
\class{color3}{c}=-1083
\]
Rozwiążemy to równanie, czyli wyliczymy miejsca zerowe funkcji \(f(x)\).
Policzymy \(\bigtriangleup\)
\[
\bigtriangleup=\class{color2}{b}^2-4\class{color1}{a}\class{color3}{c}=(-19)^2-4\cdot2\cdot(-41083)=361-8\cdot(-1083)=361+8663=9025
\]
Delta (\(\bigtriangleup\)) jest większa od zera, mamy więc dwa miejsca zerowe. Wyliczymy je
\[
\sqrt{\bigtriangleup}=\sqrt{9025}=95\\
v_1=\frac{-\class{color2}{b}-\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}=\frac{-(-19)-95}{2\cdot2}=\frac{19-95}{4}=\frac{-76}{4}=-19\\
v_2=\frac{-\class{color2}{b}+\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}=\frac{-(-19)+95}{2\cdot2}=\frac{19+95}{4}=\frac{114}{4}=28{,}5
\]
Naturalnie kolarz nie podróżował z ujemną prędkością, odrzucamy więc odpowiedź \( v_1=-19 \)
Odpowiedź: Kolarz podróżował ze średnią prędkością 28,5 km/godzinę.
