Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt

Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu?
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 34, matura próbna 2010 listopad

Droga z miasta A do miasta B ma długość 474 km. Samochód jadący z miasta A do miasta B wyrusza godzinę później niż samochód z miasta B do miasta A. Samochody te spotykają się w odległości 300 km od miasta B. Średnia prędkość samochodu, który wyjechał z miasta A, liczona od chwili wyjazdu z A do momentu spotkania, była o 17 km/h mniejsza od średniej prędkości drugiego samochodu liczonej od chwili wyjazdu z B do chwili spotkania. Oblicz średnią prędkość każdego samochodu do chwili spotkania.

Weźmy pod uwagę samochód, który wyjechał z miasta A. Oznaczmy drogę jaką przejechał jako \( s_A \), średnią prędkość jaką jechał jako \( v_A \) oraz czas, przez który jechał jako \( t_A \). Z podstaw fizyki wiemy, że \[ s_A=v_A\cdot t_A \] Postąpmy analogicznie dla samochodu, który wyjechał z miasta B. Mamy \[ s_B=v_B\cdot t_B \] Wiemy, że samochody spotkały się w odległości 300 km od miasta B. Zatem samochód, który wyjechał z miasta B przejechał 300 km, a samochód wyruszający z miasta A przechał \( 474-300 = 174 \) kilometry. Mamy więc \[ s_A=174\\ s_B=300 \] A zatem \[ v_A\cdot t_A=174\\ v_B\cdot t_B=300 \] Ze zdania "Samochód jadący z miasta A do miasta B wyrusza godzinę później niż samochód z miasta B do miasta A." wiemy, że samochód, który wyruszył z miasta A jechał godzinę krócej niż samochód, który wyruszył z miasta B, czyli \[ t_A=t_B-1 \] Ze zdania "Średnia prędkość samochodu, który wyjechał z miasta A, liczona od chwili wyjazdu z A do momentu spotkania, była o 17 km/h mniejsza od średniej prędkości drugiego samochodu liczonej od chwili wyjazdu z B do chwili spotkania." odczytujemy, że \[ v_A=v_B-17 \] Wstawmy wartości z równań \[ t_A=t_B-1\\ v_A=v_B-17 \] Do równania \[ v_A\cdot t_A=174 \] Otrzymujemy \[ (v_B-17)(t_B-1)=174 \] Z zapisanego wcześniej równania \( v_B\cdot t_B=300\) wyliczymy \( t_B \) \[ \begin{matrix} v_B\cdot t_B=300 & /:v_B \end{matrix}\\ t_B=\frac{300}{v_B} \] Wstawimy wyliczoną wartość do równania \( (v_B-17)(t_B-1)=174\) i wyliczymy \( v_B\) \[ (v_B-17)\left(\frac{300}{v_B}-1\right)=174 \] Wyliczymy \( v_B \) \[ (v_B-17)\left(\frac{300}{v_B}-1\right)=174 \\ v_B\cdot \frac{300}{v_B} + v_B \cdot (-1) -17\cdot \frac{300}{v_B} -17 \cdot (-1)=174\\ \class{color1}{300}-v_B -\frac{5100}{v_B} \class{color1}{+17}=174\\ \begin{matrix} 317-v_B -\frac{5100}{v_B} =174 & /-174 \end{matrix}\\ 317-174-v_B-\frac{5100}{v_B}=0\\ \begin{matrix} 143-v_B-\frac{5100}{v_B}=0 & /\cdot v_B \end{matrix}\\ 143v_B-v_B^2-\frac{5100}{v_B}\cdot v_B=0\\ 143v_B-v_B^2-5100=0\\ -v_B^2+143v_B-5100=0 \] Mamy równanie kwadratowe postaci \( f(v_B) = 0 \). Funkcja \( f(v_B) \) to funkcja kwadratowa, a rozwiązaniem równania będą jej miejsca zerowe. Wyliczmy je. Wpierw wyczytamy współczynniki \[ f(v_B)=\class{color2}{a}v_B^2+\class{color3}{b}v_B+\class{color1}{c}\\ f(v_B)=-v_B^2+143v_B-5100=\class{color1}{-1}{v_B}+\class{color2}{143}v_B+\class{color3}{(-5100)}\\[1em] \class{color1}{a}=-1\\ \class{color2}{b}=143\\ \class{color3}{c}=-5100 \] Policzymy deltę \[ \bigtriangleup =\class{color2}{b}^2-4\class{color1}{a}\class{color3}{c}=143^2-4\cdot(-1)\cdot(-5100)=\\ =20449-4\cdot 5100=20449-20400=49 \] Delta jest większa od zera, mamy zatem dwa miejsca zerowe. Policzymy je \[ \sqrt{\bigtriangleup}=\sqrt{49}=7\\[1em] v_{B1}=\frac{-\class{color2}{b}-\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}} =\frac{-143-7}{2\cdot(-1)}=\frac{-150}{-2}=75\\ v_{B2}=\frac{-\class{color2}{b}-\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}} =\frac{-143+7}{2\cdot(-1)}=\frac{-136}{-2}=68 \] Zatem prędkość samochodu, który wyjechał z miasta B to \( 75 \text{ km/h} \) lub \( 68 \text{ km/h} \). Jako że \( v_A=v_B-17 \), to prędkość samochodu, który wyjechał z miasta A to \( v_{A1}=75 -17 = 58 \) w pierwszym przypadku lub \( v_{A2}=68- 17=51\) w drugim przypadku.

Odpowiedź: Samochody jechały odpowiednio: 75 km/h i 58 km/h lub 68 km/h i 51 km/h.

Drukuj

Polub nas
Rozwijaj swoje SocialMedia!
Skorzystaj z Naszego nowego Projektu!
Kup Like na Facebook, Instagram, Youtube!