Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu w świetnej cenie? Kliknij tutaj
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 11, matura 2012 sierpień

Równanie \( \frac{(x+3)(x-2)}{(x-3)(x+2)}=0 \) ma
A. dokładnie jedno rozwiązanie B. dokładnie dwa rozwiązanie
C. dokładnie trzy rozwiązania D. dokładnie cztery rozwiązania

W pierwszym kroku zauważamy, że niewiadoma \(x\) występuje w mianowniku, zatem określimy dziedzinę, czyli te \(x\), dla których to zadanie w ogóle ma sens. Należy wykluczyć przypadki, w których w mianowniku mamy wartość \( 0 \) (nie dzielimy przez \(0\)!).
Sprawdzamy więc dla jakich \(x\) w mianowniku mamy \(0\) \[ (x-3)(x+2)=0 \] Jest to równanie kwadratowe \( f(x)=0 \), w którym funkcja kwadratowa \( f(x) \) zapisana jest w postaci iloczynowej, czyli postaci \[ f(x)=\class{color1}{a}(x-\class{color2}{x_1})(x-\class{color2}{x_2}) \] Gdzie \( \class{color2}{x_1} \) i \( \class{color2}{x_2} \) to miejsca zerowe, zatem to rozwiązania \( f(x)=0 \). Odczytamy \( \class{color2}{x_1} \) i \( \class{color2}{x_2} \) z równania naszej funkcji z mianownika \[ f(x)=\class{color1}{a}(x-\class{color2}{x_1})(x-\class{color2}{x_2})\\ f(x)=(x-3)(x+2)=(x-3)(x-(-2))\\[1em] \class{color2}{x_1}=3 \\ \class{color2}{x_2}=-2 \] Zatem mianownik jest równy zero, gdy \( x=3 \) lub \( x=-2 \). Zatem tych \(x\) w ogóle przy rozwiązywaniu zadania nie bierzemy uwagę. Dziedzina równania z zadania to w takim razie \( D=\mathbb{R}\backslash\{-2,3\} \).

Rozwiążemy teraz zadanie, korzystając z faktu, że ułamek jest równy zero wtedy, kiedy jego licznik jest równy zero. Przyrównujemy więc do zera licznik z równania z zadania \[ (x+3)(x-2)=0 \] Mamy analogiczny przypadek jak przy ustalaniu dziedziny - znów równanie kwadratowe, funkcja zapisana w postaci iloczynowej. Odczytamy miejsca zerowe \[ f(x)=\class{color1}{a}(x-\class{color2}{x_1})(x-\class{color2}{x_2})\\ f(x)=(x+3)(x-2)=(x-(-3))(x-2)\\[1em] \class{color2}{x_1}=-3 \\ \class{color2}{x_2}=2 \] Widzimy, że rozwiązania to \( x_1=-3 \) oraz \( x_2=2 \). Obydwa należą do dziedziny, którą określiliśmy wcześniej, zatem to faktycznie rozwiązania tego zadania. Równanie ma zatem dokładnie dwa rozwiązania.

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.

Drukuj

Polub nas