Matematyka - zadania z matematyki

Zauważamy, że mamy do czynienia z nierównością kwadratową. Przekształćmy jej lewą stronę \[ 3x-x^2=-x(x-3) \] Mamy nierówność kwadratową postaci \( f(x)\ge 0 \), gdzie \( f(x) \) to funkcja kwadratowa zapisana w postaci iloczynowej. Postać iloczynowa to \[ f(x)=\class{color1}{a}(x-\class{color2}{x_1})(x-\class{color2}{x_2}) \] Gdzie \(\class{color1}{a}\) to współczynnik \(\class{color1}{a}\) z postaci ogólnej, a \(\class{color2}{x_1}\) i \(\class{color2}{x_2}\) to pierwiastki tej funkcji.

Nasza funkcja to \[ f(x)=-x(x-3)=\class{color1}{-1}(x-\class{color2}{0})(x-\class{color2}{3}) \] Odczytamy miejsca zerowe i współczynnik \( \class{color1}{a}\). \[ f(x)=\class{color1}{a}(x-\class{color2}{x_1})(x-\class{color2}{x_2})\\ f(x)=\class{color1}{-1}(x-\class{color2}{0})(x-\class{color2}{3})\\[1em] \class{color1}{a}=-1\\ \class{color2}{x_1}=0\\ \class{color2}{x_2}=3 \] Znamy miejsca zerowe funkcji oraz wiemy, że ramiona paraboli będą skierowane w dół, ponieważ współczynnik \(\class{color1}{a}\) jest ujemny. Narysujemy wykres funkcji \( f(x) \). Na wykresie kolorem pomarańczowym zostały oznaczone te \(x\), dla których \(f(x)\ge 0\), czyli te, dla których \(x-x^2\ge0\) (wykres funkcji dla tych \(x\) znajduje się nad lub na wysokości osi \(Ox\)). Odpowiedzią jest zbiór \( (0,3) \).