Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt

Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu?
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 27, matura 2012 sierpień

Rozwiąż równanie \( x^3-6x^2-9x+54=0 \).

Mamy do czynienia z równaniem typu \( W(x)=0 \), gdzie \( W \) to wielomian. Istotą zadania jest zatem znalezienie pierwiastków wielomianu. Rozwiążemy to zadanie sprowadzając wielomian do postaci iloczynowej, czyli postaci: \[ W(x)=\class{color1}{a}(x-\class{color2}{x_1})(x-\class{color2}{x_2})\cdot\dots \] Gdzie liczby \( \class{color2}{x_1}, \class{color2}{x_2}, \dots \) to miejsca zerowe wielomianu (czyli szukane miejsca, dla których \( W(x)=0 \)).

Zauważamy, że współczynnik przy \( x^2 \) jest \(-6\) razy większy od współczynnika przy \( x^3 \). Podobnie współczynnik przy \( x^0 \) (54\cdot x^0=54\cdot1=54) jest \(-6\) razy większy od współczynnika przy \( x^1 \). Korzystając z tego faktu wykonujemy działania: \[ x^3-6x^2-9x+54=\class{color1}{x^2}\cdot x+\class{color1}{x^2}\cdot (-6) - (9x-54)\class{mathHint hintWyciagnieciePrzedNawias}{=}\\ \class{mathHint hintWyciagnieciePrzedNawias}{=} \class{color1}{x^2}(x-6)-(\class{color3}{9}\cdot x + \class{color3}{9}\cdot (-6))=x^2\class{color2}{(x-6)}-\class{color3}{9}\class{color2}{(x-6)}\class{mathHint hintWyciagnieciePrzedNawias}{=}\\ \class{mathHint hintWyciagnieciePrzedNawias}{=}(x-6)\class{color1}{(x^2-9)}\class{mathHint hintWzorSkrocMnoz}{=}(x-6)\class{color1}{(x-3)(x+3)} \] Widzimy, że postać iloczynowa wielomianu \( x^3-6x^2-9x+54 \) to \[ W(x)=(x-6)(x-3)(x+3)=(x-\class{color2}{6})(x-\class{color2}{3})(x-\class{color2}{(-3)}) \] Zatem pierwiastki wielomianu \( x^3-6x^2-9x+54 \) to \( 6 \), \(3\) i \(-3\).

Odpowiedź: rozwiązania równania \( x^3-6x^2-9x+54=0 \) to liczby \( 6,3,-3 \).

Drukuj

Polub nas
Rozwijaj swoje SocialMedia!
Skorzystaj z Naszego nowego Projektu!
Kup Like na Facebook, Instagram, Youtube!