Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu?
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 29, matura 2011 maj

Dany jest czworokąt \( ABCD \), w którym \( AB || CD \) . Na boku \( BC \) wybrano taki punkt \( E \), że \( |EC| = |CD| \) i \( |EB| = |BA| \). Wykaż, że kąt \( AED \) jest prosty.

Narysujmy sytuację z zadania: E A B C D x x y y Jako że \( |EC| = |CD| \), to te długości oznaczyliśmy jako \( y \). Jako że \( |EB| = |BA| \) to długości te oznaczyliśmy jako \( x \). Widzimy, że trójkąty \( ECD \) i \( BEA \) są równoramienne, mają zatem parę jednakowych kątów. Zaznaczymy to na rysunku. Dodatkowo na rysunku zaznaczymy jako \( \gamma \) szukany przez nas kąt \( AED \). E A B C D x x y y β β α α γ Poprowadzimy z punktu \( E \) odcinek równoległy do podstaw trapezu. Drugi jego koniec oznaczymy jako \( F \).
Zauważamy, że kąty \( CDE \) i \( FED\) oraz \( FEA \) i \( EAB \) są naprzemienne, mają zatem takie same miary. Zaznaczymy to narysunku: E A B C D x x y y β β α α β α F Widzimy, że kąt \( \gamma \) zamienił się w sumę kątów \( \alpha \) i \( \beta \). Mamy więc: \[ \gamma = \alpha + \beta \] Kąt \( CEB \) jest kątem półpełnym (mającym miarę \( 180^{\circ} \)). Z rysunku widzimy, że ma on miarę dwóch kątów \( \alpha \) i dwóch kątów \( \beta \). Mamy \[ \begin{matrix} 2\alpha + 2\beta = 180^{\circ} & /:2 \end{matrix}\\ \frac{2\alpha + 2\beta}{2} =\frac{180^{\circ}}{2} \\ \alpha+\beta = 90^{\circ} \] Wyliczyliśmy, że \( \alpha+\beta = 90^{\circ} \). Wcześniej pokazaliśmy, że \( \gamma = \alpha + \beta \). Zatem \( \gamma=90^{\circ} \).

Drukuj

Polub nas