Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu?
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 8, matura 2010 maj

Wykresem funkcji kwadratowej \( f(x)=-3x^2+3 \) jest parabola o wierzchołku w punkcie
A. \( (3,0) \) B. \( (0,3) \) C. \( (-3,0) \) D. \( (0,-3) \)

Rozwiązanie I

Zauważamy, że funkcja \( f(x) \) jest zapisana w postaci kanonicznej, czyli postaci \[ f(x)=\class{color1}{a}(x-\class{color2}{p})^2+\class{color3}{q} \] Gdzie współczynnik \(\class{color1}{a}\) to współczynnik \( \class{color1}{a} \) z postaci ogólnej, a punkt \( W=(\class{color2}{p},\class{color3}{q}) \) to wierzchołek paraboli.
Mamy \[ f(x)=-3x^2+3 =\class{color1}{-3}(x-\class{color2}{0})^2+\class{color3}{3} \] Zatem \[ \class{color2}{p}=0 \\ \class{color3}{q}=3 \] Zatem wierzchołek paraboli ma współrzędne \( W=(\class{color2}{p},\class{color3}{q})=(0,3) \)

Prawidłowa odpowiedź to B.

Rozwiązanie II

Zauważamy, że funkcja \( f(x) \) jest zapisana w postaci ogólnej, czyli postaci \[ f(x)=\class{color1}{a}x^2+\class{color2}{b}x+\class{color3}{c} \] Mamy \[ f(x)=-3x^2+3 =\class{color1}{-3}x^2+\class{color2}{b}+\class{color3}{3} \] Odczytamy wartości współczynników \[ \class{color1}{a}=-3 \\ \class{color2}{b}=0 \\ \class{color3}{c}=3 \] Niech punkt \( W=(p,q) \) będzie wierzchołkiem paraboli. Jego współrzędne możemy policzyć ze wzorów \[ p=-\frac{\class{color2}{b}}{2\class{color1}{a}} \\ q=-\frac{\bigtriangleup}{4\class{color1}{a}} \] Gdzie \(\bigtriangleup\) to delta funkcji.
Liczymy \[ \bigtriangleup =\class{color2}{b}^2-4\class{color1}{a}\class{color3}{c}=0^2-4\cdot(-3)(3)=0+12\cdot3=36 \] Zatem \[ p=-\frac{\class{color2}{b}}{2\class{color1}{a}}=-\frac{0}{2\cdot(-3)}=0 \\ q=-\frac{\bigtriangleup}{4\class{color1}{a}}=-\frac{36}{4\cdot(-3)}=-\frac{36}{-12}=-(-3)=3 \] Zatem wierzchołek paraboli ma współrzędne \( W=(p,q)=(0,3) \)

Prawidłowa odpowiedź to B.

Drukuj

Polub nas