Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu?
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 32, matura 2010 maj

Podstawą ostrosłupa \(ABCD\) jest trójkąt \(ABC\). Krawędź \(AD\) jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa \(ABCD\), jeśli wiadomo, że \(|AD|=12\), \(|BC|=6\), \(|BD|=|CD|=13\). B A D C

Objętość ostrosłupa wyraża się wzorem \[ V=\frac{P_p\cdot H}{3} \] Gdzie \(P_p\) to pole podstawy, a \(H\) to wysokość ostrosłupa. Wiemy, że wysokość tego ostrosłupa to krawędź \(AD\) o długości \(12\). Należy więc policzyć pole podstawy.

Zapiszmy na rysunku długości z treści zadania. Dodatkowo zaznaczmy kąty proste \(DAB\) i \(DAC\) (\(DA\) to wysokość ostrosłupa, zatem pada na podstawę pod kątem prostym). B A D C 12 13 13 6 Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta \(DAB\), aby policzyć długość \(AB\). Mamy \[ |AB|^2+12^2=13^2 \\ \begin{matrix} |AB|^2+144=169 & /-144 \end{matrix} \\ |AB|^2=169-144\\ \begin{matrix} |AB|^2=25 & /\sqrt{\hspace{1em}} \end{matrix}\\ |AB|=\sqrt{25}=5 \] Długość boku podstawy \(|AB|\) to \(5\).
Analogicznie można policzyć długość boku \(|AC|\), będzie ona także równa \(5\), dlatego że znów mamy trójkąt prostokątny o przyprostokątnej długości \(12\) i przeciwprostokątnej długości \(13\).
Długości boków podstawy to \(6\), \(5\) i \(5\). Podstawa jest zatem trójkątem równoramiennym. Narysujemy ten trójkąt zaznaczając wysokość dzielącą go na dwa trójkąty prostokątne. 6 5 5 h 3 Policzymy wysokość podstawy korzystając z twierdzenia Pitagorasa \[ 3^2+h^2=5^2 \\ \begin{matrix} 9+h^2=5^2 & /-9 \end{matrix}\\ h^2=25-9 \\ \begin{matrix} h^2=16 & /\sqrt{\hspace{1em}} \end{matrix}\\ h=\sqrt{16}=4 \] Pole trójkąta to połowa długości podstawy razy wysokość, policzymy pole podstawy \[ P_\bigtriangleup=\frac{6\cdot4}{2}=12 \] Możemy teraz policzyć objętość ostrosłupa \[ V=\frac{P_p\cdot H}{3}=\frac{12\cdot12}{3}=4\cdot12=48 \] Odpowiedź: objętość tego ostrosłupa to \(48\).

Drukuj

Polub nas