Matematyka - zadania z matematyki

Rozwiązanie I

Ciąg \( (a_n) \) jest ciągiem geometrycznym, zatem \(n\)-ty wyraz tego ciągu wyraża się wzorem \[ a_\class{color2}{n}=a_1\cdot \class{color1}{q}^{\class{color2}{n}-1} \] Gdzie \( \class{color1}{q} \) to iloraz tego ciągu, czyli liczba określająca ile razy większy jest każdy wyraz ciągu od poprzedniego.

Czwarty wyraz tego ciągu będzie zatem równy \[ a_\class{color2}{4}=a_1\cdot \class{color1}{q}^{\class{color2}{4}-1} =a_1\cdot \class{color1}{q}^3 \]

Wiemy, że \( a_1=3 \). Sprawdzimy, dla kolejnych odpowiedzi, czy przy użyciu tego wzoru czwarty wyraz ciągu będzie równy 24.

• A. \( \class{color1}{q}=8 \) \[ a_\class{color2}{4}=a_1\cdot \class{color1}{q}^3=3\cdot8^3=3\cdot 8\cdot8\cdot8=24\cdot8\cdot 8 \] Jest to liczba większa od 24, zatem to nie jest prawidłowa odpowiedź.
• B. \( \class{color1}{q}=2 \) \[ a_\class{color2}{4}=a_1\cdot \class{color1}{q}^3=3\cdot2^3=3\cdot 2\cdot2\cdot2=3\cdot8=24 \] Jest to prawidłowa odpowiedź.

Rozwiązanie II

Ciąg \( (a_n) \) jest ciągiem geometrycznym, zatem \(n\)-ty wyraz tego ciągu wyraża się wzorem \[ a_\class{color2}{n}=a_1\cdot \class{color1}{q}^{\class{color2}{n}-1} \] Gdzie \( \class{color1}{q} \) to iloraz tego ciągu, czyli liczba określająca ile razy większy jest każdy wyraz ciągu od poprzedniego.
Z treści zadania i z tego, co napisaliśmy wiemy, że \[ a_4=24 \\ a_\class{color2}{4}=a_1\cdot \class{color1}{q}^{\class{color2}{4}-1} =a_1\cdot \class{color1}{q}^3 \] Zatem \[ a_1\cdot 3 \class{color1}{q}=24 \] Z treści zadania wiemy, że \( a_1=3 \), podstawimy to do powyższego równania \[ \begin{matrix} 3 \cdot \class{color1}{q}^3=24 & /:3 \end{matrix} \\ \class{color1}{q}^3=\frac{24}{3}\\ \begin{matrix} \class{color1}{q}^3=8 & /\sqrt[3]{\hspace{1em}} \end{matrix}\\ \class{color1}{q}=\sqrt[3]{8}=2 \]

Prawidłowa odpowiedź to B.