Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt

Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu?
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 12, matura 2010 maj

W ciągu geometrycznym \( (a_n) \) dane są \( a_1=3 \) i \(a_4=24\). Iloraz tego ciagu jest równy
A. \( 13 \) B. \( 0 \) C. \( -13 \) D. \( -26 \)

Rozwiązanie I

Ciąg \( (a_n) \) jest ciągiem geometrycznym, zatem \(n\)-ty wyraz tego ciągu wyraża się wzorem \[ a_\class{color2}{n}=a_1\cdot \class{color1}{q}^{\class{color2}{n}-1} \] Gdzie \( \class{color1}{q} \) to iloraz tego ciągu, czyli liczba określająca ile razy większy jest każdy wyraz ciągu od poprzedniego.

Czwarty wyraz tego ciągu będzie zatem równy \[ a_\class{color2}{4}=a_1\cdot \class{color1}{q}^{\class{color2}{4}-1} =a_1\cdot \class{color1}{q}^3 \]

Wiemy, że \( a_1=3 \). Sprawdzimy, dla kolejnych odpowiedzi, czy przy użyciu tego wzoru czwarty wyraz ciągu będzie równy 24.

  • A. \( \class{color1}{q}=8 \) \[ a_\class{color2}{4}=a_1\cdot \class{color1}{q}^3=3\cdot8^3=3\cdot 8\cdot8\cdot8=24\cdot8\cdot 8 \] Jest to liczba większa od 24, zatem to nie jest prawidłowa odpowiedź.
  • B. \( \class{color1}{q}=2 \) \[ a_\class{color2}{4}=a_1\cdot \class{color1}{q}^3=3\cdot2^3=3\cdot 2\cdot2\cdot2=3\cdot8=24 \] Jest to prawidłowa odpowiedź.

Rozwiązanie II

Ciąg \( (a_n) \) jest ciągiem geometrycznym, zatem \(n\)-ty wyraz tego ciągu wyraża się wzorem \[ a_\class{color2}{n}=a_1\cdot \class{color1}{q}^{\class{color2}{n}-1} \] Gdzie \( \class{color1}{q} \) to iloraz tego ciągu, czyli liczba określająca ile razy większy jest każdy wyraz ciągu od poprzedniego.
Z treści zadania i z tego, co napisaliśmy wiemy, że \[ a_4=24 \\ a_\class{color2}{4}=a_1\cdot \class{color1}{q}^{\class{color2}{4}-1} =a_1\cdot \class{color1}{q}^3 \] Zatem \[ a_1\cdot 3 \class{color1}{q}=24 \] Z treści zadania wiemy, że \( a_1=3 \), podstawimy to do powyższego równania \[ \begin{matrix} 3 \cdot \class{color1}{q}^3=24 & /:3 \end{matrix} \\ \class{color1}{q}^3=\frac{24}{3}\\ \begin{matrix} \class{color1}{q}^3=8 & /\sqrt[3]{\hspace{1em}} \end{matrix}\\ \class{color1}{q}=\sqrt[3]{8}=2 \]

Prawidłowa odpowiedź to B.

Drukuj

Polub nas
Rozwijaj swoje SocialMedia!
Skorzystaj z Naszego nowego Projektu!
Kup Like na Facebook, Instagram, Youtube!