Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt

Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu?
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 14, matura próbna 2012 listopad

Kąt \( \alpha \) jest ostry i \( \text{tg}\alpha=\frac{12}{5} \). Wówczas \( \text{cos}\alpha \) jest równy:
A. \( \frac{5}{12} \) B. \( \frac{5}{13} \) C. \( \frac{10}{13} \) D. \( \frac{12}{13} \)

Zadania, w których mamy podaną wartość jednej funkcji trygonometrycznej kąta i należy wyliczyć wartości innych funkcji trygonometrycznych najwygodniej rozwiązać używając własności: \[ \text{tg}\class{color2}{\alpha}=\frac{\text{sin}\class{color2}{\alpha}}{\text{cos}\class{color2}{\alpha}} \\ \text{sin}^2\class{color2}{\alpha}+\text{cos}^2\class{color2}{\alpha}=1 \] Korzystamy z pierwszej własności i treści zadania: \[ \text{tg}\class{color2}{\alpha}=\frac{12}{5} \\ \text{tg}\class{color2}{\alpha}=\frac{\text{sin}\class{color2}{\alpha}}{\text{cos}\class{color2}{\alpha}} \] Połączymy te równania \[ \frac{\text{sin}\class{color2}{\alpha}}{\text{cos}\class{color2}{\alpha}}=\frac{12}{5} \] Wyliczymy wartość \( \text{sin}\class{color2}{\alpha} \) \[ \begin{matrix} \frac{\text{sin}\class{color2}{\alpha}}{\text{cos}\class{color2}{\alpha}}=\frac{12}{5} & /\cdot \text{cos}\class{color2}{\alpha} \end{matrix} \\ \text{sin}\class{color2}{\alpha}=\frac{12}{5}\text{cos}\class{color2}{\alpha} \] Skorzystamy teraz z jedynki trygonometrycznej \[ \text{sin}^2\class{color2}{\alpha}+\text{cos}^2\class{color2}{\alpha}=1 \] Podstawimy do niej wyliczoną wartość \[ \text{sin}\class{color2}{\alpha}=\frac{12}{5}\text{cos}\class{color2}{\alpha} \] I wyliczymy wartość \( \text{cos}\class{color2}{\alpha} \) \[ \left(\frac{12}{5}\text{cos}\class{color2}{\alpha}\right)^2+\text{cos}^2\class{color2}{\alpha}=1 \\ \frac{12^2}{5^2}\text{cos}^2\class{color2}{\alpha}+\text{cos}^2\class{color2}{\alpha}=1 \\ \frac{144}{25}\text{cos}^2\class{color2}{\alpha}+\frac{25}{25}\text{cos}^2\class{color2}{\alpha}=1 \\ \begin{matrix} \frac{169}{25}\text{cos}^2\class{color2}{\alpha}=1 & /\cdot \frac{25}{169} \end{matrix} \\ \text{cos}^2\class{color2}{\alpha}=1\frac{25}{169} \\ \begin{matrix} \text{cos}^2\class{color2}{\alpha}=\frac{25}{169} & /\sqrt{\hspace{1em}} \end{matrix} \\ \sqrt{\text{cos}^2\class{color2}{\alpha}}=\sqrt{\frac{25}{169}} \\ |\text{cos}\class{color2}{\alpha}|=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{169}} \\ |\text{cos}\class{color2}{\alpha}|=\frac{5}{13} \] Wiemy, że kąt \( \alpha \) jest ostry, więc wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych są dodatnie. Więc \( \text{cos}\class{color2}{\alpha}>0 \), czyli z własności wartości bezwzględnej \( |\text{cos}\class{color2}{\alpha}|=\text{cos}\class{color2}{\alpha} \). Czyli mamy \[ \text{cos}\class{color2}{\alpha}=\frac{5}{13} \] Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.

Drukuj

Polub nas
Rozwijaj swoje SocialMedia!
Skorzystaj z Naszego nowego Projektu!
Kup Like na Facebook, Instagram, Youtube!