Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt

Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu?
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 8, wielomiany

Wyznacz takie wartości współczynników \( a \) i \( b \), aby liczby \( 3 \) i \( -1 \) były pierwiastkami wielomianu określonego wzorem \( W(x)=x^4+ax^3+x+b \).

Wiemy, że liczba \( 3 \) jest pierwiastkiem, mamy zatem \[ W(3)=0 \] Zgodnie zdefinicją wielomianu \( W(x) \), mamy również \[ W(3)=3^4+a\cdot3^3+3+b \] Ale, jak napisaliśmy przed chwilą \( W(3) \) jest także równe \( 0 \). Mamy więc \[ 3^4+a\cdot3^3+3+b=0 \\ 81+27a+3+b=0 \\ 84+27a+b=0 \] Analogicznie postępujemy dla liczby \( -1 \). Jest ona pierwiastkiem wielomianu \( W(x) \), więc mamy \( W(-1)=0 \). Mamy więc \[ (-1)^4+a\cdot(-1)^3+(-1)+b=0 \\ 1+(-1)a-1+b=0\\ 1-a-1+b=0\\ -a+b=0 \] Aby wyliczyć współczynniki \(a\) i \(b\) rozwiążemy układ równań \[ \left\lbrace \begin{matrix} 84+27a+b=0\\ -a+b=0 \end{matrix} \right. \] Od pierwszego równania odejmiemy drugie równanie. Mamy \[ 84+27a+b-(-a+b)=0-0 \\ 84+27a+b+a-b=0\\ \begin{matrix} 84+28a=0 & /-84 \end{matrix}\\ \begin{matrix} 28a=-84 & /:28 \end{matrix}\\ a=\frac{-84}{28}=-3 \] Mając wyliczoną wartość \( a \) wyliczymy teraz wartość \( b \) korzystając z drugiego równania z zapisanego wcześniej układu \[ -a+b=0\\ -(-3)+b=0\\ \begin{matrix} 3+b=0 & /-3 \end{matrix}\\ b=-3 \]

Odpowiedź: Liczby \( 3 \) i \( -1 \) są pierwiastkami wielomianu \( W(x) \) dla \( a=-3 \) i \( b=-3 \).

Drukuj

Polub nas
Rozwijaj swoje SocialMedia!
Skorzystaj z Naszego nowego Projektu!
Kup Like na Facebook, Instagram, Youtube!