Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu w świetnej cenie? Kliknij tutaj
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
zadaniamatematyczne@op.pl
Napisz wiadomość

Zadanie nr 31, matura 2011 maj

Okrąg o środku w punkcie \( S = (3,7) \) jest styczny do prostej o równaniu \( y = 2x - 3 \). Oblicz współrzędne punktu styczności.

Narysujemy sytuację z zadania. Dodatkowo narysujemy prostą \( l \) przechodzącą przez środek okręgu \( S \) oraz przez punkt styczności \( A \). S(3,7) l y=2x-3 A

Odcinek \( SA \), który leży na prostej \( l \) jest promieniem okręgu. Prosta \( l \) jest zatem prostopadła do prostej o równaniu \( y=2x-3\).
Niech równaniem prostej \( l \) będzie \[ l:\text{ }\class{color1}{a_l}x+\class{color2}{b_l} \] Z warunku na prostopadłość iloczyn współczynników kierunkowych musi być równy \( -1 \). Współczynnik kierunkowy prostej \( y=2x-3\) to 2, a współczynnik kierunkowy prostej \(\class{color1}{a_l}x+\class{color2}{b_l}\) to \(\class{color1}{a_l}\)
Mamy więc \[ \begin{matrix} \class{color1}{a_l}\cdot2=-1 & /:2 \end{matrix}\\ \class{color1}{a_l}=\frac{-1}{2} \]

Wiemy już, że prosta \( l \) ma równanie \( y=\frac{-1}{2}x+\class{color2}{b_l} \). Skorzystamy teraz z faktu, że prosta ta przechodzi przez środek okręgu, czyli punkt \( (3,7) \). To, że punkt leży na prostej znaczy tyle, że współrzędne tego punktu spełniają to równanie. Współrzędna \(x\) punktu \( (3,7) \) to \( 3 \), a współrzędna \( y \) tego punktu to \( 7 \). Mamy \[ y=\frac{-1}{2}x+\class{color2}{b_l} \\ 7=\frac{-1}{2}\cdot3+\class{color2}{b_l} \\ \begin{matrix} 7=\frac{-3}{2}+\class{color2}{b_l} & /+\frac{3}{2} \end{matrix} \\ 7+\frac{3}{2}=\class{color2}{b_l}\\ \class{color2}{b_l}=7+\frac{3}{2}=\frac{14}{2}+\frac{3}{2}=\frac{14+3}{2}=\frac{17}{2} \]

Wyliczyliśmy, że równanie prostej przechodzącej przez środek okręgu i punkt styczności to \( y=-\frac{1}{2}x+\frac{17}{2} \). Punkt styczności \(A\) leży na prostych o równaniach \( y=-\frac{1}{2}+\frac{17}{2} \) i \( y = 2x - 3 \), współrzędne tego punktu muszą więc spełniać oba te równania. Oznaczmy punkt \( A=(x_A,y_A)\) i podstawmy jego współrzędne do układu tych dwóch równań \[ \left\{ \begin{matrix} y_A=-\frac{1}{2}x_A+\frac{17}{2} \\ y_A = 2x_A - 3 \end{matrix} \right. \] Podstawmy wartość \( y_A \) z pierwszego równania do równania drugiego \[ \begin{matrix} -\frac{1}{2}x_A+\frac{17}{2}=2x_A - 3 & /+\frac{1}{2}x_A \end{matrix}\\ \begin{matrix} \frac{17}{2}=2x_A +\frac{1}{2}x_A -3 & /+3 \end{matrix}\\ \frac{17}{2}+3=\frac{4}{2}x_A+\frac{1}{2}x_A\\ \frac{17}{2}+\frac{6}{2}=\frac{4+1}{2}x_A\\ \begin{matrix} \frac{23}{2}=\frac{5}{2}x_A & /\cdot\frac{2}{5} \end{matrix}\\ \frac{23}{2}\cdot\frac{2}{5}=x_A\\ x_A=\frac{23}{2}\cdot\frac{2}{5}=\frac{23}{5} \] Podstawimy wyliczoną wartość \(x_A\) do drugiego równania: \[ y_A = 2x_A - 3= 2\frac{23}{5} - 3=\frac{46}{5}-\frac{15}{5}=\frac{46-15}{5}=\frac{31}{5} \] Współrzędne punktu styczności to \( \left( \frac{23}{5},\frac{31}{5}\right) \).

Drukuj

Polub nas