Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu w świetnej cenie? Kliknij tutaj
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 25, matura 2011 maj

Uzasadnij, że jeżeli \( a+b=1 \) i \( a^2+b^2=7 \), to \( a^4+b^4=31 \).

Rozwiązanie I

Rozwiążemy zadanie przekształcając dwa pierwsze równania tak, aby uzyskać trzecie równanie.

Przekształćmy pierwsze równanie \[ \begin{matrix} a+b=1 & /\hspace{1em}^2 \end{matrix}\\ (a+b)^2=1^2 \] Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. \[ a^2+2ab+b^2=1 \\ a^2+b^2+2ab=1 \] Z drugiego równania wiemy, że \( a^2+b^2=7 \), wstawmy więc \( 7 \) za \( a^2+b^2 \) \[ \begin{matrix} 7+2ab=1 & /-7 \end{matrix}\\ 2ab=1-7\\ \begin{matrix} 2ab=-6 & /:2 \end{matrix}\\ ab=\frac{-6}{2} \\ \begin{matrix} ab=-3 & /^2 \end{matrix} \\ (ab)^2=(-3)^2 \] \[ a^2b^2=9\tag{I} \]

Aby otrzymać trzecie równanie podnieśmy drógie równanie do drugiej potęgi, przy użyciu wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy otrzymamy wtedy: \[ \begin{matrix} a^2+b^2=7 & /\hspace{1em}^2 \end{matrix}\\ (a^2+b^2)^2=7^2\\ \left(a^2\right)^2+2a^2b^2+\left(b^2\right)^2=49\\ a^4+2a^2b^2+b^4=49 \\ \begin{matrix} a^4+b^4+2a^2b^2=49 & /-2a^2b^2 \end{matrix}\\ a^4+b^4=49-2a^2b^2 \] Wcześniej \(\text{I}\)) policzyliśmy, że \( a^2b^2=9 \). Wstawimy to do powyższego równania \[ a^4+b^4=49-2\cdot9 \\ a^4+b^4=49-18 \\ a^4+b^4=31 \] Pokazaliśmy, że jeżeli \( a+b=1 \) i \( a^2+b^2=7 \), to \( a^4+b^4=31 \).

Rozwiązanie II

Rozwiążemy to zadanie wyliczając wartości \(a\) i \(b\) korzystając z równań

Wyznaczymy z pierwszej równości \( a \) \[ \begin{matrix} a+b=1 & /-b \end{matrix} \\ a=1-b \] Wstawimy tę wartość do drugiego równania

\[ a^2+b^2=7\\ \begin{matrix} (1-b)^2+b^2=7 & /-7 \end{matrix} \\ (1-b)^2+b^2-7=0 \] Rozpiszemy \( (1-b)^2 \) korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. \[ 1^2-2\cdot1\cdot b+b^2 + b^2 -7= 0 \\ 1-2b+2b^2 -7= 0\\ \begin{matrix} 2b^2-2b-6=0 & /:2 \end{matrix}\\ b^2-b-3=0 \] Mamy do czynienia z równaniem kwadratowym w postaci ogólnej, czyli postaci: \[ \class{color1}{a}x^2+\class{color2}{b}x+\class{color3}{c}=0 \] Wyczytamy współczynniki równania kwadratowego \[ \class{color1}{1}b^2+\class{color2}{(-1)}b+\class{color3}{(-3)}=0 \] Aby rozwiązać równanie kwadratowe policzymy najpierw deltę \[ \bigtriangleup = \class{color2}{b}^2+4\class{color1}{a}\class{color3}{c} \\ \bigtriangleup = (-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-3)=1-4\cdot(-3)=1-(-12)=1+12=13 \] Delta jest większa od zera, mamy więc dwa rozwiązania \[ b_1=\frac{-\class{color2}{b}+\sqrt{\bigtriangleup}}{2\class{color1}{a}} \\ b_2=\frac{-\class{color2}{b}-\sqrt{\bigtriangleup}}{2\class{color1}{a}} \\[1em] b_1=\frac{-(-1)+\sqrt{13}}{2\cdot1}=\frac{1+\sqrt{13}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{13}}{2} \\ b_2=\frac{-(-1)-\sqrt{13}}{2\cdot1}=\frac{1-\sqrt{13}}{2}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{13}}{2} \] Korzystając z równań \( a+b=1 \) i \( a^2+b^2=7 \) wyszły nam dwa rozwiązania. Oczywiście jednym z nich jest \(a\), jednym jest \(b\), niezależnie od tego, które jest którym rozwiązaniem. Dzieje się tak dlatego, że jeżeli w każdym z równań z treści zadania zamienilibyśmy \(a\) z \(b\) miejscami, nie zmieniłby się matematyczny sens tych równań.

Podstawimy wyliczone wartości do lewej strony trzeciego równania i pokażemy, że otrzymamy \( 31 \). \[ a^4+b^4=\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^4+\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^4 \] Policzymy wartość \( \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^4 \) \[ \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^4=\left(\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^2\right)^2 \class{mathHint hintWzorSkrocMnoz}{=} \\ \class{mathHint hintWzorSkrocMnoz}{=} \left( \left(\frac{1}{2}\right)^2+2\cdot\frac{ 1}{2}\cdot\frac{\sqrt{13}}{2}+\left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^2 \right)^2=\\ = \frac{1}{4}+\frac{\sqrt{13}}{2}+\frac{13}{4}=\left(\frac{14}{4}+\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^2=\left(\frac{7}{2}+\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^2 \class{mathHint hintWzorSkrocMnoz}{=} \\ \class{mathHint hintWzorSkrocMnoz}{=} \left(\frac{7}{2}\right)^2+2\cdot\frac{ 7}{2}\cdot\frac{\sqrt{13}}{2}+\left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^2=\\ =\frac{49}{4}+\frac{7\sqrt{13}}{2}+\frac{13}{4}=\frac{62}{4}+\frac{7\sqrt{13}}{2}=\\ =\frac{31}{2}+\frac{7\sqrt{13}}{2} \] Policzymy wartość \( \left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^4 \) \[ \left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^4=\left(\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^2\right)^2 \class{mathHint hintWzorSkrocMnoz}{=} \\ \class{mathHint hintWzorSkrocMnoz}{=} \left( \left(\frac{1}{2}\right)^2-2\cdot\frac{ 1}{2}\cdot\frac{\sqrt{13}}{2}+\left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^2 \right)^2=\\ = \frac{1}{4}-\frac{\sqrt{13}}{2}+\frac{13}{4}=\left(\frac{14}{4}-\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^2=\left(\frac{7}{2}-\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^2 \class{mathHint hintWzorSkrocMnoz}{=} \\ \class{mathHint hintWzorSkrocMnoz}{=} \left(\frac{7}{2}\right)^2-2\cdot\frac{ 7}{2}\cdot\frac{\sqrt{13}}{2}+\left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^2=\\ =\frac{49}{4}-\frac{7\sqrt{13}}{2}+\frac{13}{4}=\frac{62}{4}-\frac{7\sqrt{13}}{2}=\\ =\frac{31}{2}-\frac{7\sqrt{13}}{2} \] Mamy więc: \[ a^4+b^4=\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^4+\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^4=\\ = \frac{31}{2}+\frac{7\sqrt{13}}{2}+\frac{31}{2}-\frac{7\sqrt{13}}{2}=\frac{31}{2}+\frac{31}{2}=31 \]

Drukuj

Polub nas