Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu w świetnej cenie? Kliknij tutaj
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 5, ciągi

Zbadaj monotoniczność ciągów
a) \( a_n=2-5n \) b) \( b_n=3n+2 \) c) \( c_n=\sqrt{3}n-\sqrt{2} \)

Monotoniczność ciągu badamy sprawdzając jak mają się kolejne wyrazy do poprzednich. Jeżeli te wyrazy będą większe, to ciąg jest rosnący, etc. Zadanie rozwiążemy biorąc dowolny (załóżmy, że \( \class{color2}n \)-ty) wyraz ciągu. Wtedy następny wyraz będzie w kolejności \( \class{color2}{n+1} \) (\(\class{color2}n\) plus pierwszy). Badając ich różnicę dowiemy się, jaka jest monotoniczność ciągu.

  • a) \( a_\class{color2}n=2-5\class{color2}n \)
    \[ a_{\class{color2}{n+1}}-a_\class{color2}n=2-5(\class{color2}{n+1})-(2-5\class{color2}n)=\\ =2-(5n+5)-(2-5n)=2-5n-5-2+5n=-5 \] Pokazaliśmy, że dla dowolnego wyrazy następny wyraz po nim jest mniejszy, zatem ciąg jest malejący.
  • b) \( b_\class{color2}n=3\class{color2}n+2 \)
    \[ b_{\class{color2}{n+1}}-b_\class{color2}n=3(\class{color2}{n+1})+2-(3\class{color2}n+2)=\\ =3n+3+2-3n-2=3 \] Pokazaliśmy, że dla dowolnego wyrazy następny wyraz po nim jest większy, zatem ciąg jest rosnący.
  • c) \( c_\class{color2}n=\sqrt{3}\class{color2}n-\sqrt{2} \)
    \[ c_{\class{color2}{n+1}}-c_\class{color2}n=\sqrt{3}(\class{color2}{n+1})-\sqrt{2}-(\sqrt{3}\class{color2}n-\sqrt{2})=\\ =\sqrt{3}n+\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{3}n+\sqrt{2}=\sqrt{3} \] Pokazaliśmy, że dla dowolnego wyrazy następny wyraz po nim jest większy, zatem ciąg jest rosnący.

Drukuj

Polub nas