Matematyka - zadania z matematyki

Rozwiązania zadań z tego działu

Zadanie nr 1, matura 2011 maj

Wskaż nierówność, którą spełnia liczba \(\pi\).

A. \( |x+1|>5 \)

B. \( |x-1|<2 \)

C. \( |x+\frac{2}{3}|\le 4 \)

D. \( |x+1|\ge 3 \)

Zadanie nr 2, matura 2011 maj

Pierwsza rata, która stanowi \(9%\) ceny roweru jest równa \(189\)zł. Rower kosztuje

A. \( 1701\)zł

B. \( 2100 \)zł

C. \( 1890 \)zł

D. \( 2091 \)zł

Zadanie nr 3, matura 2011 maj

Wyrażenie \(5a^2-10ab+15a\) jest równe iloczynowi

A. \( 5a^2(1-10b+3)\)	B. \( 5a(a-2b+3) \)
C. \( 5a(a-10b+15) \)	D. \( 5(a-2b+3) \)

Zadanie nr 4, matura 2011 maj

Układ równań \( \left\{ \begin{array}{rr} 4x+2y=10 \\ 6x+ay=15 \\ \end{array}\right. \) ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli

A. \( a=-1 \)

B. \( a=0 \)

C. \( a=2 \)

D. \( a=3 \)

Zadanie nr 5, matura 2011 maj

Rozwiązanie równania \(x(x+3)-49=x(x-4)\) należy do przedziału

A. \( (-\infty,3) \)

B. \( (10,+\infty) \)

C. \( (-5,-1) \)

D. \( (2,+\infty) \)

Zadanie nr 6, matura 2011 maj

Najmniejszą liczbą całkowitą należącą do zbioru rozwiązań nierówności \( \frac{3}{8}+\frac{x}{6}<\frac{5x}{12} \) jest

A. \( 1 \)

B. \( 2 \)

C. \( -1 \)

D. \( -2 \)

Zadanie nr 7, matura 2011 maj

Wskaż, który zbiór przedstawiony na osi liczbowej jest zbiorem liczb spełniających jednocześnie następujące nierówności: \(3(x-1)(x-5)\le 0\) i \(x>1\).

A.	B.
C.	D.

Zadanie nr 8, matura 2011 maj

Wyrażenie \( \text{log}_4(2x-1) \) jest określone dla wszystkich liczb \(x\) spełniających warunek

A. \( x\le\frac{1}{2} \)

B. \( x>\frac{1}{2} \)

C. \( x\le 0 \)

D. \( x>0 \)

Zadanie nr 9, matura 2011 maj

Dane są funkcje liniowe \( f(x)=x-2 \) oraz \( g(x)=x+4 \) określone dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji \(h(x)=f(x)\cdot g(x) \).

A.	B.
C.	D.

Zadanie nr 10, matura 2011 maj

Funkcja liniowa określona jest wzorem \( f(x)=-\sqrt{2}x+4 \). Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

A. \( -2\sqrt{2} \)

B. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

C. \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

D. \( 2\sqrt{2} \)

Zadanie nr 11, matura 2011 maj

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \( (a_n) \), w którym \(a_3=1\) i \(a_4=\frac{2}{3}\). Wtedy

A. \( a_1=\frac{2}{3} \)

B. \( a_1=\frac{4}{9} \)

C. \( a_1=\frac{3}{2} \)

D. \( a_1=\frac{9}{4} \)

Zadanie nr 12, matura 2011 maj

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny \( (a_n) \) o wyrazach dodatnich. Wtedy

A. \( a_4+a_7=a_{10} \)	B. \( a_4+a_6=a_3+a_8 \)
C. \( a_2+a_9=a_3+a_8 \)	D. \( a_5+a_7=2a_8 \)

Zadanie nr 13, matura 2011 maj

Kąt \( \alpha \) jest ostry i \( \text{cos}\alpha=\frac{5}{13} \). Wtedy

A. \( \text{sin}\alpha=\frac{12}{13} \) oraz \( \text{tg}\alpha=\frac{12}{5} \)	B. \( \text{sin}\alpha=\frac{12}{13} \) oraz \( \text{tg}\alpha=\frac{5}{12} \)
C. \( \text{sin}\alpha=\frac{12}{5} \) oraz \( \text{tg}\alpha=\frac{12}{13} \)	D. \( \text{sin}\alpha=\frac{5}{12} \) oraz \( \text{tg}\alpha=\frac{12}{13} \)

Zadanie nr 14, matura 2011 maj

Wartość wyrażenia \( \frac{ \text{sin}^2 38^\circ + \text{cos}^2 38^\circ - 1 }{ \text{sin}^2 52^\circ + \text{cos}^2 52^\circ + 1 } \) jest równa

A. \( \frac{1}{2}\)	B. \( 0 \)
C. \( -\frac{1}{2} \)	D. \( 1 \)

Zadanie nr 15, matura 2011 maj

W prostopadłościanie \(ABCDEFGH\) mamy: \( |AB|=5 \), \( |AD|=4 \), \( |AE|=3 \). Który z odcinków \( AB \), \( BG \), \( GE \), \( EB \) jest najdłuższy?

A. \( AB \)	B. \( BG \)
C. \( GE \)	D. \( EB \)

Zadanie nr 16, matura 2011 maj

Punkt \( O \) jest środkiem okręgu. Kąt \( \alpha \) ma miarę

A. \( 80^\circ \)	B. \( 100^\circ \)
C. \( 110^\circ \)	D. \( 120^\circ \)

Zadanie nr 17, matura 2011 maj

Wysokość rombu o boku długości \( 6 \) i kącie ostrym \( 60^\circ \) jest równa

A. \( 3\sqrt{3} \)

B. \( 3 \)

C. \( 6\sqrt{3} \)

D. \( 6 \)

Zadanie nr 18, matura 2011 maj

Prosta \( k \) ma równanie \( y=2x-3 \). Wskaż równanie prostej \( l \) równoległej do prostej \( k \) i przechodzącej przez punkt \( D \) o współrzędnych \( (-2,1) \).

A. \( y=2x+3 \)

B. \( y=2x+1 \)

C. \( y=2x+5 \)

D. \( y=-x+1 \)

Zadanie nr 19, matura 2011 maj

Styczną do okręgu \( (x-1)^2+y^2-4 = 0 \) jest prosta o równaniu.

A. \( x=1\)	B. \( x=3 \)
C. \( y=0 \)	D. \( y=4 \)

Zadanie nr 20, matura 2011 maj

Pole powierzchni sześcianu jest równe \( 54 \). Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

A. \( \sqrt{6} \)

B. \( 3 \)

C. \( 9 \)

D. \( 3\sqrt{3} \)

Zadanie nr 21, matura 2011 maj

Objętość stożka o wysokości \( 8 \) i średnicy podstawy \( 12 \) jest równa

A. \( 124\pi\)

B. \( 96\pi \)

C. \( 64\pi \)

D. \( 32\pi \)

Zadanie nr 22, matura 2011 maj

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek równej trzy wynosi

A. \( \frac{1}{6} \)

B. \( \frac{1}{9} \)

C. \( \frac{1}{12} \)

D. \( \frac{1}{18} \)

Zadanie nr 23, matura 2011 maj

Uczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: "Ile osób liczy twoja rodzina?". Wyniki przedstawiono w tabeli:

Liczba osób w rodzinie	Liczba uczniów
3	6
4	12
x	2

Średnia liczba osób w rodzinie dla uczniów tej klasy jest równa \(4\). Wtedy liczba \(x\) jest równa

A. \( 3 \)

B. \( 4 \)

C. \( 5 \)

D. \( 7 \)

Zadanie nr 24, matura 2011 maj

Rozwiąż nierówność \(3x^2-10x+3\le 0\).

Zadanie nr 25, matura 2011 maj

Uzasadnij, że jeżeli \( a+b=1 \) i \( a^2+b^2=7 \), to \( a^4+b^4=31 \).

Zadanie nr 26, matura 2011 maj

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \( f \). Odczytaj z wykresu i zapisz:
a) zbiór wartości funkcji \( f \),
b) przedział maksymalnej długości, w którym funkcja \( f \) jest malejąca.

Zadanie nr 27, matura 2011 maj

Liczby \(x\), \(y\), \(19\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym \(x+y=8\). Oblicz \(x\) i \(y\).

Zadanie nr 28, matura 2011 maj

Kąt \( \alpha \) jest ostry i \( \frac{\text{sin}\alpha}{\text{cos}\alpha}+\frac{\text{cos}\alpha}{\text{sin}\alpha}=2 \). Oblicz wartość wyrażenia \( \text{sin}\alpha\cdot \text{cos}\alpha \).

Zadanie nr 29, matura 2011 maj

Dany jest czworokąt \( ABCD \), w którym \( AB || CD \) . Na boku \( BC \) wybrano taki punkt \( E \), że \( |EC| = |CD| \) i \( |EB| = |BA| \). Wykaż, że kąt \( AED \) jest prosty.

Zadanie nr 30, matura 2011 maj

Ze zbioru liczb \( {1,2,3,\dots,7} \) losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem.
Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez 3.

Zadanie nr 31, matura 2011 maj

Okrąg o środku w punkcie \( S = (3,7) \) jest styczny do prostej o równaniu \( y = 2x - 3 \). Oblicz współrzędne punktu styczności.

Zadanie nr 32, matura 2011 maj

Pewien turysta pokonał trasę \( 112 \)km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o \( 3 \) dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o \( 12 \) km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.

Zadanie nr 33, matura 2011 maj

Punkty \(K\), \(L\) i \(M\) są środkami krawędzi \(BC\), \(GH\) i \(AE\) sześcianu \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(1\) (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta KLM.

Matematyka dla szkół średnich/maturzystów