|
Narysujmy sytuację z zadania:
Jako że \( |EC| = |CD| \), to te długości oznaczyliśmy jako \( y \). Jako że \( |EB| = |BA| \) to długości te oznaczyliśmy jako \( x \). Widzimy, że trójkąty \( ECD \) i \( BEA \) są równoramienne, mają zatem parę jednakowych kątów. Zaznaczymy to na rysunku. Dodatkowo na rysunku zaznaczymy jako \( \gamma \) szukany przez nas kąt \( AED \).
Poprowadzimy z punktu \( E \) odcinek równoległy do podstaw trapezu. Drugi jego koniec oznaczymy jako \( F \).
Zauważamy, że kąty \( CDE \) i \( FED\) oraz \( FEA \) i \( EAB \) są naprzemienne, mają zatem takie same miary. Zaznaczymy to narysunku:
Widzimy, że kąt \( \gamma \) zamienił się w sumę kątów \( \alpha \) i \( \beta \). Mamy więc:
\[
\gamma = \alpha + \beta
\]
Kąt \( CEB \) jest kątem półpełnym (mającym miarę \( 180^{\circ} \)). Z rysunku widzimy, że ma on miarę dwóch kątów \( \alpha \) i dwóch kątów \( \beta \). Mamy
\[
\begin{matrix}
2\alpha + 2\beta = 180^{\circ}
&
/:2
\end{matrix}\\
\frac{2\alpha + 2\beta}{2} =\frac{180^{\circ}}{2} \\
\alpha+\beta = 90^{\circ}
\]
Wyliczyliśmy, że \( \alpha+\beta = 90^{\circ} \). Wcześniej pokazaliśmy, że \( \gamma = \alpha + \beta \). Zatem \( \gamma=90^{\circ} \).
