Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \( (a_n) \), w którym \(a_3=1\) i \(a_4=\frac{2}{3}\). Wtedy
|
A. \( a_1=\frac{2}{3} \)
|
B. \( a_1=\frac{4}{9} \)
|
C. \( a_1=\frac{3}{2} \)
|
D. \( a_1=\frac{9}{4} \)
|
Policzymy iloraz ciągu \( (a_n) \). Iloraz ciągu geometrycznego to iloraz dwóch każdych kolejnych wyrazów ciągu.
Znamy \(a_3\) i \(a_4\), czyli trzeci i czwarty wyraz tego ciągu, możemy zatem policzyć iloraz.
\[
q=\frac{a_4}{a_3}=\frac{\frac{2}{3}}{1}=\frac{2}{3}
\]
Policzymy teraz \(a_1\) wiedząc, że
\[
\class{color3}{a}_\class{color2}{n}=\class{color3}{a}_1\cdot \class{color1}{q}^{\class{color2}{n}-1}
\]
Mamy:
\[
\class{color3}{a}_\class{color2}{3}=\class{color3}{a}_1\cdot \class{color1}{q}^{\class{color2}{3}-1}=\class{color3}{a}_1\cdot \class{color1}{q}^2 \\
1= a_1\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \\
1=a_1 \cdot \frac{2^2}{3^2} \\
\begin{matrix}
1=a_1 \cdot \frac{4}{9}
&
/ \cdot \frac{9}{4}
\end{matrix} \\
a_1=\frac{9}{4}
\]
Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź D.
Drukuj
