Matematyka - zadania z matematyki

Oznaczmy jako \( t \) liczbę godzin, przez jaką jechał kolarz, oraz przez \( v \) liczbę kilometrów, jaką przejeżdzał średnio w ciągu godziny (jego średnia prędkość). Mamy \[ v\cdot t=114 \] Z treści zadania dodatkowo wiemy, że gdyby jechał \(t+2\) (dwie godziny więcej) godzin jadąc średnio \(v-9{,}5\) (9,5 kilometra na godzinę mniej) kilometrów na godzinę przejechałby tę samą trasę.
Czyli \[ (v-9{,}5)(t+2)=114 \]

Mamy układ równań \[ v\cdot t=114 \\ (v-9{,}5)(t+2)=114 \] Wyliczymy z pierwszego równania \(t\) i podstawimy jego wartość do drugiego równania. \[ \begin{matrix} t\cdot v=114 & /:v \end{matrix}\\ t=\frac{114}{v} \] Podstawimy do drugiego równania i wyliczymy \(v\): \[ \left(\frac{114}{v}+2\right)(v-9{,}5)=114\\ \] Wymnożymy lewą stronę równania \[ \frac{114}{v}v+\frac{114}{v}(-9{,}5)+2v+2(-9{,}5)=114\\ \begin{matrix} 114+\frac{114}{v}(-9{,}5)+2v-19=114 & /-114 \end{matrix}\\ \frac{114}{v}(-9{,}5)+2v-19=0\\ \begin{matrix} \frac{-1083}{v}+2v-19=0 & /\cdot v \end{matrix}\\ 2v^2-19v-1083=0 \] Mamy równanie kwadratowe zapisane w postaci ogólnej, czyli postaci \( f(v)=0 \), gdzie \(f(v)\) to funkcja kwadratowa zapisana w postaci ogólnej.
Współczynniki tego równania to: \[ \class{color1}{a}=2\\ \class{color2}{b}=-19\\ \class{color3}{c}=-1083 \] Rozwiążemy to równanie, czyli wyliczymy miejsca zerowe funkcji \(f(x)\).
Policzymy \(\bigtriangleup\) \[ \bigtriangleup=\class{color2}{b}^2-4\class{color1}{a}\class{color3}{c}=(-19)^2-4\cdot2\cdot(-41083)=361-8\cdot(-1083)=361+8663=9025 \] Delta (\(\bigtriangleup\)) jest większa od zera, mamy więc dwa miejsca zerowe. Wyliczymy je \[ \sqrt{\bigtriangleup}=\sqrt{9025}=95\\ v_1=\frac{-\class{color2}{b}-\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}=\frac{-(-19)-95}{2\cdot2}=\frac{19-95}{4}=\frac{-76}{4}=-19\\ v_2=\frac{-\class{color2}{b}+\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}=\frac{-(-19)+95}{2\cdot2}=\frac{19+95}{4}=\frac{114}{4}=28{,}5 \] Naturalnie kolarz nie podróżował z ujemną prędkością, odrzucamy więc odpowiedź \( v_1=-19 \)

Odpowiedź: Kolarz podróżował ze średnią prędkością 28,5 km/godzinę.