Zadania → Zadania maturalne → Matura próbna z matematyki, listopad 2012 → nr 22, matura próbna 2012 listopad |
| A. \( 1 \) | B. \( 14 \) | C. \( 7 \) | D. \( 8 \) |
Gdy jeden zawodnik rezygnuje, w turnieju nie będą rozgrywane partie tego zawodnika. Miał on 7 rywali, więc będzie rozegranych o 7 partii mniej.
Prawidłowa odpowiedź to C.
Weźmy pod uwagę pierwszego zawodnika. Kiedy w turnieju byłoby 8 zawodników miałby 7 rywali, czyli rozegrałby 7 partii. Drugi zawodnik nie licząc partii z zawodnikiem pierwszym (którą już policzyliśmy) rozegrałby 6 partii. Trzeci, nie licząc partii z pierwszym i drugim 5 itd. Zatem gdyby w turnieju brało udział 8 zawodników liczba partii byłaby równa
\[
7+6+5+4+3+2+1=28
\]
Po rezygnacji jednego zawodnika, pierwszy zawodnik miałby do rozegrania 6 partii (zostało 6 rywali). Drugi nie licząc partii z pierwszym rozegrałby 5, itd. Więc liczba partii w turnieju, w którym bierze udział 7 zawodników jest równa:
\[
6+5+4+3+2+1=21
\]
Liczba partii zmniejszyła się więc o \( 28-21=7 \).
Prawidłowa odpowiedź to B.
Rozwiążemy zadanie kombinatorycznie. Gdy w turnieju bierze udział \( 8 \) zawodników mamy do czynienia z dwuelementowymi kombinacjami bez powtórzeń zbioru \(8\)-elementowego. Ich liczba to
\[
\text{C}_\class{color2}{n}^\class{color1}{k}=\binom{\class{color2}{n}}{\class{color1}{k}}=\frac{\class{color2}{n}!}{\class{color1}{k}(\class{color2}{n}-\class{color1}{k})!} \\
\text{C}_8^2=\binom{8}{2}=\frac{8!}{2(8-2)!}=\frac{6!\cdot 7 \cdot 8}{2\cdot6!}=\frac{7\cdot8}{2}=7\cdot4=28
\]Gdy w turnieju bierze udział \( 7 \) zawodników mamy do czynienia z dwuelementowymi kombinacjami bez powtórzeń zbioru \(7\)-elementowego. Ich liczba to
\[
\text{C}_\class{color2}{n}^\class{color1}{k}=\binom{\class{color2}{n}}{\class{color1}{k}} =\frac{\class{color2}{n}!}{\class{color1}{k}(\class{color2}{n}-\class{color1}{k})!} \\
\text{C}_7^2=\binom{7}{2}=\frac{7!}{2(7-2)!}=\frac{5!\cdot6\cdot 7 }{2 \cdot5!}=\frac{6\cdot7}{2}=3\cdot7=21
\]
Odpowiedzią będzie różnica tych wartości, czyli \( 28-21=7 \).
Prawidłowa odpowiedź to C.
