Narysujemy sytuację z zadania. Dodatkowo narysujemy prostą \( l \) przechodzącą przez środek okręgu \( S \) oraz przez punkt styczności \( A \).

Odcinek \( SA \), który leży na prostej \( l \) jest promieniem okręgu. Prosta \( l \) jest zatem prostopadła do prostej o równaniu \( y=2x-3\).
Niech równaniem prostej \( l \) będzie \[ l:\text{ }\class{color1}{a_l}x+\class{color2}{b_l} \] Z warunku na prostopadłość iloczyn współczynników kierunkowych musi być równy \( -1 \). Współczynnik kierunkowy prostej \( y=2x-3\) to 2, a współczynnik kierunkowy prostej \(\class{color1}{a_l}x+\class{color2}{b_l}\) to \(\class{color1}{a_l}\)
Mamy więc \[ \begin{matrix} \class{color1}{a_l}\cdot2=-1 & /:2 \end{matrix}\\ \class{color1}{a_l}=\frac{-1}{2} \]

Wiemy już, że prosta \( l \) ma równanie \( y=\frac{-1}{2}x+\class{color2}{b_l} \). Skorzystamy teraz z faktu, że prosta ta przechodzi przez środek okręgu, czyli punkt \( (3,7) \). To, że punkt leży na prostej znaczy tyle, że współrzędne tego punktu spełniają to równanie. Współrzędna \(x\) punktu \( (3,7) \) to \( 3 \), a współrzędna \( y \) tego punktu to \( 7 \). Mamy \[ y=\frac{-1}{2}x+\class{color2}{b_l} \\ 7=\frac{-1}{2}\cdot3+\class{color2}{b_l} \\ \begin{matrix} 7=\frac{-3}{2}+\class{color2}{b_l} & /+\frac{3}{2} \end{matrix} \\ 7+\frac{3}{2}=\class{color2}{b_l}\\ \class{color2}{b_l}=7+\frac{3}{2}=\frac{14}{2}+\frac{3}{2}=\frac{14+3}{2}=\frac{17}{2} \]

Wyliczyliśmy, że równanie prostej przechodzącej przez środek okręgu i punkt styczności to \( y=-\frac{1}{2}x+\frac{17}{2} \). Punkt styczności \(A\) leży na prostych o równaniach \( y=-\frac{1}{2}+\frac{17}{2} \) i \( y = 2x - 3 \), współrzędne tego punktu muszą więc spełniać oba te równania. Oznaczmy punkt \( A=(x_A,y_A)\) i podstawmy jego współrzędne do układu tych dwóch równań \[ \left\{ \begin{matrix} y_A=-\frac{1}{2}x_A+\frac{17}{2} \\ y_A = 2x_A - 3 \end{matrix} \right. \] Podstawmy wartość \( y_A \) z pierwszego równania do równania drugiego \[ \begin{matrix} -\frac{1}{2}x_A+\frac{17}{2}=2x_A - 3 & /+\frac{1}{2}x_A \end{matrix}\\ \begin{matrix} \frac{17}{2}=2x_A +\frac{1}{2}x_A -3 & /+3 \end{matrix}\\ \frac{17}{2}+3=\frac{4}{2}x_A+\frac{1}{2}x_A\\ \frac{17}{2}+\frac{6}{2}=\frac{4+1}{2}x_A\\ \begin{matrix} \frac{23}{2}=\frac{5}{2}x_A & /\cdot\frac{2}{5} \end{matrix}\\ \frac{23}{2}\cdot\frac{2}{5}=x_A\\ x_A=\frac{23}{2}\cdot\frac{2}{5}=\frac{23}{5} \] Podstawimy wyliczoną wartość \(x_A\) do drugiego równania: \[ y_A = 2x_A - 3= 2\frac{23}{5} - 3=\frac{46}{5}-\frac{15}{5}=\frac{46-15}{5}=\frac{31}{5} \] Współrzędne punktu styczności to \( \left( \frac{23}{5},\frac{31}{5}\right) \).