Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu?
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 27, matura 2013 sierpień

Rozwiąż równanie \( x^3-6x^2-12x+72=0 \).

Mamy do czynienia z równaniem typu \( W(x)=0 \), gdzie \( W \) to wielomian. Istotą zadania jest zatem znalezienie pierwiastków wielomianu. Rozwiążemy to zadanie sprowadzając wielomian do postaci iloczynowej, czyli postaci: \[ W(x)=\class{color1}{a}(x-\class{color2}{x_1})(x-\class{color2}{x_2})\cdot\dots \] Gdzie liczby \( \class{color2}{x_1}, \class{color2}{x_2}, \dots \) to miejsca zerowe wielomianu (czyli szukane miejsca, dla których \( W(x)=0 \)). Wykonujemy więc działania: \[ x^3-6x^2-12x+72=x^2\cdot x+x^2\cdot (-6) - (12x-72)\class{mathHint hintWyciagnieciePrzedNawias}{=}\\ \class{mathHint hintWyciagnieciePrzedNawias}{=} x^2(x-6)-(12\cdot x + 12\cdot (-6))=x^2(x-6)-12(x-6)\class{mathHint hintWyciagnieciePrzedNawias}{=}\\ \class{mathHint hintWyciagnieciePrzedNawias}{=}(x-6)(x^2-12) \] Drugi czynnik iloczynu to funkcja kwadratowa \( x^2-12 \). Znajdziemy jej miejsca zerowe wykorzystując wzór skróconego mnożenia . Mamy \( x^2-12=((x+\sqrt{12})(x-\sqrt{12}) \). Rozpiszmy \( \sqrt{12} \). \[ \sqrt{12} =\sqrt{4\cdot 3 }= \sqrt{4}\sqrt{3}=2\sqrt{3} \]

Zapiszmy teraz wielomian \( W(x) \) w postaci iloczynowej \[ W(x)=(x-6)(x+2\sqrt{3})(x-2\sqrt{3}) \] Odczytujemy miejsca zerowe: \[ x_1=6\\ x_2=-2\sqrt{3}\\ x_3=2\sqrt{3} \] Odpowiedź: rozwiązania równania \( x^3-6x^2-12x+72=0 \) to liczby \( 6,-2\sqrt{3},2\sqrt{3} \).

Drukuj

Polub nas