Zadania → Zadania maturalne → Matura poprawkowa z matematyki, sierpień 2012 → nr 30, matura 2012 sierpień |
Pole równoległoboku wyraża się wzorem \( a\cdot h \), gdzie \( a \) to długość podstawy, a \( h \) to wysokość. Oznaczmy więc długość podstawy \( AB \) równoległoboku z zadania jako \( a \), a wysokość jako \( h_1 \). Pole równoległoboku będzie więc równe \[ P_{ABCD}=a\cdot h_1 \] Pole trójkąta wyraża się z kolei wzorem \( \frac{a\cdot h}{2} \), gdzie \( a \) to długość podstawy, a \( h \) to wysokość trójkąta. Wiemy, że trójkąt \( DCE \) ma podstawę \( DC \) o długości równej długości podstawy rownoległoboku, a zatem, jak oznaczyliśmy wcześniej \( a \). Niech wysokość trójkąta będzie równa \( h_2 \). Wtedy \[ P_{DEC}=\frac{a\cdot h_2}{2} \] Z treści zadania wiemy, że \( |CE| = \frac{1}{2}|AC| \). Niech \( |CE|=x \). Wtedy, jako że \( |CE| \) to połowa \( |AC| \) to mamy \( |AC|=2x \). Zaznaczmy to na rysunku, dodatkowo zaznaczając wysokości równoległoboku \( (h_1) \) i trójkąta \( (h_2) \). Przyjrzyjmy się trójkątom \( FAC \) i \( GCE \). Są to trójkąty podobne, dlatego że kąty \( \angle FAC \) i \( \angle GCE \) mają taką samą miarę (odcinki \( FA \) i \( GC \) są równoległe i przecina je ta sama prosta) i oznaczono je jako \( \alpha \). Kąty \( \angle EGC \) i \( \angle CFA \) też mają tę samą miarę - to kąty proste, bo wysokość spada na podstawę pod kątem prostym, a odcinki \( CF \) i \(EG \) to wysokości równoległoboku i trójkąta.
Jako że \( FAC \) i \( GCE \) to trójkąty podobne, to ich boki mają proporcjonalne długości. Mamy więc \[ \frac{h_1}{h_2}=\frac{2x}{x} \] Wyliczymy zależność pomiędzy wysokościami równoległoboku i trójkąta \[ \frac{h_1}{h_2}=\frac{2x}{x} \\ \begin{matrix} \frac{h_1}{h_2}=2 & /\cdot h_2 \end{matrix}\\ h_1=2h_2 \]
Wróćmy do pól równoległoboku i trójkąta. Zgodnie z tym co napisaliśmy wcześniej, mamy: \[ P_{ABCD}=a\cdot h_1=a\cdot 2h_2 \\ P_{DCE}=\frac{a\cdot h_2}{2} \] Sprawdźmy ile razy większe jest pole równoległoboku od pola trójkąta \[ \frac{P_{ABCD}}{P_{DCE}}=\frac{\class{color1}{a\cdot 2h_2}}{\class{color2}{\frac{a\cdot h_2}{2}}} \class{mathHint hintDzielToMnozPrzezOdwrot}{=}\class{color1}{2 a\cdot h_2}\cdot \class{color2}{\frac{2}{a\cdot h_2}}=2\cdot 2=4 \]
Zatem pole równoległoboku \( ABCD \) jest cztery razy większe od pola trójkąta \( DCE \).
