Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu?
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 23, matura 2012 sierpień

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku \( a \). Objętość tego stożka wyraża się wzorem
A. \( \frac{\sqrt{3}}{6}\pi a^3 \) B. \( \frac{\sqrt{3}}{8}\pi a^3 \) C. \( \frac{\sqrt{3}}{12}\pi a^3 \) D. \( \frac{\sqrt{3}}{24}\pi a^3 \)

Objętość stożka wyraża się wzorem \[ V=\frac{1}{3}\pi\class{color1}{r}^2\class{color2}{H} \] Gdzie \( \class{color2}{H} \) to wysokość stożka, a \( \class{color1}{r} \) to promień koła w podstawie.

Narysujmy stożek z zadania. a a r a H Jako że przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym o boku \( a \), to promień podstawy będzie miał długość \( \frac{a}{2} \). Zatem \[ \class{color1}{r}=\frac{a}{2} \]

Widzimy, że wysokość stożka \( \class{color2}{H} \) jest także wysokością trójkąta równobocznego, którego długość jego boku to \( a \). Skorzystamy ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego. \[ \class{color2}{H}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \]

Wróćmy do wzoru na objętość stożka, mamy \[ V=\frac{1}{3}\pi\class{color1}{r}^2\class{color2}{H}\\ V=\frac{1}{3}\pi\left(\class{color1}{\frac{a}{2}}\right)^2 \class{color2}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}\class{mathHint hintRozPierwWzglDziel}{=}\frac{1}{3}\pi\frac{a^2}{2^2}\frac{a\sqrt{3}}{2} =\\ =\frac{1}{3}\pi\frac{a^2}{4}\frac{a\sqrt{3}}{2} =\frac{1}{3}\pi a^2 \frac{1}{4}a\frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{1}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{4} \pi a^2 a =\\ =\frac{1\cdot\sqrt{3}\cdot 1}{3\cdot2\cdot4}\pi a^3 = \frac{\sqrt{3}}{24}\pi a^3 \]

Prawidłowa odpowiedź, to odpowiedź D.

Drukuj

Polub nas