Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu?
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]p.pl
Napisz wiadomość

Zadanie nr 14, matura 2012 sierpień

Kąt \( \alpha \) jest ostry i \( \text{sin}\alpha=\frac{7}{13} \). Wtedy \( \text{tg}\alpha \) jest równy
A. \( \frac{7}{6} \) B. \( \frac{7\cdot 13}{120} \) C. \( \frac{7}{\sqrt{120}} \) D. \( \frac{7}{13\sqrt{120}} \)

Policzymy wartość sinusa kąta \(\alpha\) korzystając z jedynki trygonometrycznej, czyli z faktu, że dla każdego kąta mamy: \[ \text{sin}^2\alpha+\text{cos}^2\alpha=1 \] Z treści zadania wiemy, że \( \text{sin}\alpha=\frac{7}{13} \). Podstawimy tę wartość do jedynki trygonometrycznej. \[ \text{sin}^2\alpha+\text{cos}^2\alpha=1 \\ \left(\frac{7}{13}\right)^2+\text{cos}^2\alpha=1 \\ \frac{7^2}{13^2}+\text{cos}^2\alpha=1 \\ \begin{matrix} \frac{49}{169}+\text{cos}^2\alpha=1 & /-\frac{49}{169} \end{matrix} \\ \text{cos}^2\alpha=1 -\frac{49}{169} \\ \text{cos}^2\alpha=\frac{169}{169} -\frac{49}{169} \\ \begin{matrix} \text{cos}^2\alpha=\frac{120}{169} & / \sqrt{\hspace{1em}} \end{matrix} \\ \text{cos}\alpha=\sqrt{\frac{120}{169}} \\ \text{cos}\alpha=\frac{\sqrt{120}}{\sqrt{169}} \\ \text{cos}\alpha=\frac{\sqrt{120}}{13} \] Wyliczymy teraz wartość \( \text{tg}\alpha \) wykorzystując fakt, że \[ \text{tg}\alpha = \frac{ \text{sin}\alpha }{ \text{cos}\alpha } \] Jako, że wiemy już, że \( \text{sin}\alpha=\frac{7}{13} \) oraz \( \text{cos}\alpha=\frac{\sqrt{120}}{13} \), liczymy: \[ \text{tg}\alpha = \frac{ \frac{7}{13} }{ \frac{\sqrt{120}}{13} } \class{mathHint hintDzielToMnozPrzezOdwrot}{=} \frac{7}{13} \cdot \frac{13}{\sqrt{120}} = \frac{7}{\sqrt{120}} \] \( \text{tg}\alpha=\frac{7}{\sqrt{120}} \), więc prawidłowa odpowiedź to odpowiedź C.

Drukuj

Polub nas