|
Liczba \((\sqrt{32}-\sqrt2)^2\) jest równa
| A. \(16\) | B. \(18\) | C. \(30\) | D. \(34\) |
Liczba \(\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}\) jest równa
| A. \(30\) | B. \(31\) | C. \(5^{12}\) | D. \(5^{27}\) |
Liczba \(\log_3 108-2\log_3 2\) jest równa
| A. \(3\) | B. \(9\) | C. \(\log_3 104\) | D. \(2\log_3 54\) |
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wyrażenie \((3x+2)^2-(2x-3)^2\) jest równe
| A. \(5x^2-5\) | B. \(5x^2+13\) | C. \(5x^2+24x-5\) | D. \(5x^2+24x-13\) |
Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\) liczba \(3n^2+2n+7\) jest podzielna przez \(4\).
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(3-2(1-2x)\ge2x-17\) jest:
| A. \((-\infty,-9)\) | B. \((-\infty,-9]\) | C. \((-9,+\infty)\) | D. \([-9,+\infty)\) |
Równanie \(2x(x+3)(x^2+25)=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych
| A. ma dokładnie dwa rozwiązania: \(-3\) oraz \(0\). | B. ma dokładnie trzy rozwiązania: \(-5\), \(-3\), \(0\). | C. ma dokładnie trzy rozwiązania: \(-3\), \(0\), \(5\). | D. ma dokładnie cztery rozwiązania: \(-5\), \(-3\), \(0\), \(5\). |
Dane jest wyrażenie \(\frac{x^2+x}{x^2+4x+4}\cdot\frac{x+2}{x}\), gdzie \(x\ne-2\) i \(x\ne0\).
To wyrażenie jest równe
| A. \(\frac1{x+2}\) | B. \(\frac{x}{x+2}\) | C. \(\frac{x+1}{x+2}\) | D. \(\frac{x+2}{x+1}\) |
Kwotę \(1\,200\,000\) zł przeznaczono na dwa zespoły badawcze A i B. Zespół A wykorzystał \(13\%\) swojej kwoty, zespół B wykorzystał \(11\%\) swojej kwoty, a łącznie wykorzystano \(146\,700\) zł.
Oblicz, jaką kwotę przeznaczono na zespół A.
Rozwiąż nierówność \(3(2x^2+1)<11x\).
Funkcja \(f\) jest określona następująco:
\(f(x)=\begin{cases}x+5,&x\in[-4,-2]\3,&x\in(-2,2]\-3x+9,&x\in(2,4)\end{cases}\)
Podaj dziedzinę, zbiór wartości, argumenty dodatnie oraz rozwiązania równania \(f(x)=3\).
Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((3,6)\), a punkt \((0,3)\) należy do wykresu.
12.1. Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej.
12.2. Oś symetrii paraboli ma równanie
| A. \(x=3\) | B. \(y=3\) | C. \(x=6\) | D. \(y=6\) |
12.3. Dla \(g(x)=f(x)-3\) suma miejsc zerowych funkcji \(g\) jest równa:
| A. \(0\) | B. \(3\) | C. \(6\) | D. \(9\) |
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(3-m)x-4\). Ta funkcja nie ma miejsca zerowego dla
| A. \(m=-4\) | B. \(m=0\) | C. \(m=3\) | D. \(m=4\) |
Ciąg \((a_n)\) jest określony rekurencyjnie: \(a_1=2\), \(a_{n+1}=2a_n+1\).
14.1. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy
| A. \(5\) | B. \(7\) | C. \(9\) | D. \(11\) |
14.2. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
| Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny. | P | F |
| Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny. | P | F |
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których ciąg \((2m+11,\;m^2+3,\;5-m)\) jest arytmetyczny i malejący.
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), w którym \(a_1=27\) oraz \(a_2=9\). Czwarty wyraz tego ciągu jest równy
| A. \(\frac13\) | B. \(1\) | C. \(3\) | D. \(729\) |
Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\sqrt3\operatorname{tg}\alpha=2\sin\alpha\).
Cosinus kąta \(\alpha\) jest równy
| A. \(\frac12\) | B. \(\frac{\sqrt2}{2}\) | C. \(\frac{\sqrt3}{2}\) | D. \(\frac{\sqrt3}{3}\) |
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(BC\) jest przeciwprostokątną, \(AB=6\), a środkowa \(CD\) ma długość \(5\). Kąt \(ADC\) oznaczono przez \(\alpha\), a kąt \(ABC\) przez \(\beta\).
18.1. Tangens kąta \(\alpha\) jest równy
| A. \(\frac23\) | B. \(\frac34\) | C. \(\frac45\) | D. \(\frac43\) |
18.2. Sinus kąta \(\beta\) jest równy
| A. \(\frac2{\sqrt{13}}\) | B. \(\frac3{\sqrt{13}}\) | C. \(\frac5{2\sqrt{13}}\) | D. \(\frac45\) |
Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Miara kąta \(BCA\) jest równa \(50^\circ\).
Miara kąta ostrego \(ABO\) jest równa
| A. \(20^\circ\) | B. \(35^\circ\) | C. \(40^\circ\) | D. \(50^\circ\) |
W trójkącie równoramiennym \(ABC\) dane są: \(|AC|=|BC|=4\) oraz \(|AB|=3\). Na boku \(BC\) wybrano punkt \(D\), tak że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne.
Odcinek \(BD\) ma długość
| A. \(2\) | B. \(2{,}25\) | C. \(2{,}5\) | D. \(3\) |
Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=11\), \(|BC|=12\) oraz \(|\angle ABC|=60^\circ\).
Oceń prawdziwość stwierdzeń.
| Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny. | P | F |
| Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(33\sqrt3\). | P | F |
W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest kwadrat \(ABCD\), w którym \(A=(4,-1)\). Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie \(S=(1,3)\).
Przekątna kwadratu \(ABCD\) ma długość
| A. \(5\) | B. \(7\) | C. \(10\) | D. \(14\) |
Proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami \(k:\ y=(m-2)x+5\) oraz \(l:\ y=-4x+(m+3)\).
Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy liczba \(m\) jest równa
| A. \(-4\) | B. \(-2\) | C. \(2\) | D. \(5\) |
W kartezjańskim układzie współrzędnych punkt \(P=(0,0)\) leży na okręgu o środku w punkcie \(S=(2,4)\).
Okrąg jest określony równaniem
| A. \((x-2)^2+(y-4)^2=2\sqrt5\) | B. \((x-2)^2+(y-4)^2=20\) | C. \((x+2)^2+(y+4)^2=2\sqrt5\) | D. \((x+2)^2+(y+4)^2=20\) |
Tworząca stożka ma długość \(8\). Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(120^\circ\).
Oblicz objętość tego stożka.
Objętość sześcianu jest równa \(729\). Długość przekątnej tego sześcianu jest równa
| A. \(9\sqrt3\) | B. \(9\sqrt2\) | C. \(3\sqrt3\) | D. \(3\sqrt2\) |
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra \(0\), jest
| A. \(45\) | B. \(50\) | C. \(54\) | D. \(81\) |
Rzucamy dwukrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry. Zdarzenie \(A\) polega na tym, że suma wyrzuconych oczek będzie równa \(11\).
Prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe
| A. \(\frac1{36}\) | B. \(\frac6{36}\) | C. \(\frac{11}{36}\) | D. \(\frac2{36}\) |
Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: \(1,2,3,4,5,x,y\), jest równa \(3\).
Suma \(x+y\) jest równa
| A. \(4\) | B. \(5\) | C. \(6\) | D. \(7\) |
Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w klasie liczącej \(24\) uczniów.
Uzupełnij zdania: mediana ocen jest równa .........., a dominanta ocen jest równa .......... .
Rozważamy prostopadłościany \(ABCDEFGH\), w których krawędź \(BC\) ma długość \(4\), a suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka \(B\) jest równa \(15\). Niech \(P(x)\) oznacza pole powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości \(x\) krawędzi \(AB\).
Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji \(P\). Oblicz długość \(x\), dla której pole powierzchni całkowitej jest największe.
