Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt

Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu?
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 34, matura 2012 maj

Miasto \(A\) i miasto \(B\) łączy linia kolejowa długości \(210 \text{km}\). Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o \(24 \frac{\text{km}}{\text{h}}\) większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o \(1\) godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.

Oznaczmy przez \(S\) drogę od miasta \(A\) do miasta \(B\). Z treści zadania: \[ S=210\tag{I} \]

Niech \(V_o\) będzie średnią prędkością pociągu osobowego, a \(V_p\) średnią prędkością pociągu pospiesznego. Z treści zadania wiemy, że:
"Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o \(24 \frac{\text{km}}{\text{h}}\) większa od średniej prędkości pociągu osobowego." \[ V_p-V_o=24 \] Z czego wyliczymy \(V_o\): \[ \begin{matrix} V_p-V_o=24 & /+V_o \end{matrix}\\ \begin{matrix} V_p=24+V_o & /-24 \end{matrix} \] \[ V_o=V_p-24\tag{II} \]

Niech \(t_p\) będzie czasem przejazdu trasy przez pociąg pospieszny, a \(t_o\) czasem przejazdu tej trasy przez pociąg osobowy.
Wykorzystamy część zadania:
"Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o \(1\) godzinę krócej niż pociąg osobowy." \[ t_o-t_p = 1 \\ \] Z czego wyliczymy \(t_o\): \[ \begin{matrix} t_o-t_p = 1 & /+t_p \end{matrix} \] \[ t_o=1+t_p \tag{III} \]

Zgodnie z podstawowym prawem ruchu mamy układ równań: \[ \left\{\begin{matrix} S = V_p \cdot t_p \\ S = V_o \cdot t_o \end{matrix}\right. \] Podstawimy do tego układu dane z równań \(\text{(I)}\), \(\text{(II)}\) i \(\text{(III)}\). \[ \left\{\begin{matrix} 210 = V_p \cdot t_p \\ 210 = \left(V_p-24\right) \cdot (1+t_p) \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} 210 = V_p \cdot t_p \\ 210 = V_p-24+t_p \end{matrix}\right. \] Wyliczymy z pierwszego równania \(V_p\): \[ \begin{matrix} 210 = V_p \cdot t_p & /:t_p \end{matrix} \\ V_p=\frac{210}{t_p} \] I podstawimy do drugiego równania: \[ 210 = \left(\frac{210}{t_p}-24\right) \cdot (1+t_p) \\ \begin{matrix} 210 = \frac{210}{t_p}+ 210 - 24 - 24\cdot t_p & / -210 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \frac{210}{t_p} - 24 - 24\cdot t_p = 0 & / \cdot{t_p} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 210- 24\cdot t_p - 24\cdot t_p^2 = 0 & /:6 \end{matrix}\\ 35- 4\cdot t_p - 4\cdot t_p^2 = 0 \] Mamy do czynienia z równaniem kwadkratowym. Przedstawimy je w postaci ogólnej: \[ -4t_p^2-4t_p +35 = 0 \] Wyliczymy miejsca zerowe: \[ \bigtriangleup = b^2-4ac=(-4)^2 - 4\cdot (-4)\cdot 35=16+16\cdot 35\\ \bigtriangleup=16+ 560=576 \] Delta jest dodatnia, mamy więc dwa miejsca zerowe \[ \sqrt{\bigtriangleup}=\sqrt{576}=24\\ t_1=\frac{-b-\sqrt{\bigtriangleup}}{2a}=\frac{-(-4)-24}{2\cdot(-4)}=\frac{4-24}{-8}=\frac{-20}{-8}=\frac{20}{8}=\\ t_1=\frac{5}{2}=2{,}5\\ t_2=\frac{-b+\sqrt{\bigtriangleup}}{2a}=\frac{-(-4)+24}{2\cdot(-4)}=\frac{4+24}{-8}=\frac{24}{-8}<0 \] \(t_2\) jest mniejsze od zera, więc nie bierzemy jego pod uwagę (ujemnego czasu podróży.

Czas przejazdu pociągu pospiesznego przez trasę z zadania wynosi \(2{,}5\text{h}\).

Drukuj

Polub nas
Rozwijaj swoje SocialMedia!
Skorzystaj z Naszego nowego Projektu!
Kup Like na Facebook, Instagram, Youtube!