Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu?
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 26, matura 2012 maj

Rozwiąż nierówność \(x^2+8x+15>0\).

Mamy do czynienia z nierównością kwadratową. Rozwiążemy ją rysując wykres funkcji \(f(x)=x^2+8x+15\), a następnie odczytując z wykresu, dla których \(x\) funkcja przybiera wartość większą od \(0\).

Aby narysować odpowiedni wykres funkcji \(x^2+8x+15\), musimy znać jej miejsca zerowe oraz wiedzieć, w którą stronę skierowane są ramiona paraboli. Funkcja zapisana jest w postaci ogólnej, a jej współczynniki to: \[ \class{color1}{a}=1\\ \class{color2}{b}=8\\ \class{color3}{c}=15 \]

Odczytamy z równania, w którą stronę skierowane są ramiona paraboli. Współczynnik \(\class{color1}{a}\) funkcji jest równy \(1\), a zatem jest większy od zera. Ramiona paraboli będą skierowane w górę.

Wyliczymy miejsca zerowe funkcji \(x^2+8x+15\). Wpierw policzymy deltę. \[ \bigtriangleup =\class{color2}{b}^2-4\class{color1}{a}\class{color3}{c}\\ \bigtriangleup =8^2-4\cdot1\cdot15\\ \bigtriangleup =64-60\\ \bigtriangleup =4 \] Delta jest większa od zera, mamy zatem dwa miejsca zerowe. Wyliczymy je: \[ x_1=\frac{-\class{color2}{b}-\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}\\ x_2=\frac{-\class{color2}{b}+\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}\\[0.3in] x_1=\frac{-8-\sqrt{4}}{2\cdot1}\\ x_1=\frac{-8-2}{2}\\ x_1=\frac{-10}{2}\\ x_1=-5\\[0.3in] x_2=\frac{-8+\sqrt{4}}{2\cdot1}\\ x_2=\frac{-8+2}{2}\\ x_2=\frac{-6}{2}\\ x_2=-3 \] A więc miejsca zerowe funkcji \(f(x)=x^2+8x+15\) to \(-5\) oraz \(-5\).

Narysujemy wykres naszej funkcji: image/svg+xml x -5 -3 Tym kolorem zostały zaznaczone te \(x\) z osi liczbowej, dla których \(f(x)>0\), a więc \(x\in(-\infty,-5)\cup(-3,\infty)\).

Odpowiedź: \(x^2+8x+15>0\) gdy \(x\in(-\infty,-5)\cup(-3,\infty)\).

Drukuj

Rozwiązanie wideo

Polub nas