Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu?
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 5, matura 2012 maj

Wskaż liczbę, która spełnia równanie \( |3x+1|=4x \).
A. \( -1 \) B. \( 1 \) C. \( 2 \) D. \( -2 \)

Rozwiązanie I

Najprostszym rozwiązaniem tego zadania jest podstawienie dostępnych w zadaniu odpowiedzi za \(x\) i wybranie tej, dla której spełnione jest równanie. Dla odpowiedzi A \( -1 \) otrzymujemy: \[ |3\cdot (-1)+1|=4\cdot(-1)\\ |-3+1|=-4\\ |-2|=-4\\ 2=-4 \] Otrzymujemy sprzeczność, zatem odpowiedź A nie jest prawidłowa.
Dla odpowiedzi B \( 1 \) otrzymujemy: \[ |3\cdot 1+1|=4\cdot 1\\ |3+1|=4\\ |4|=4\\ 4=4 \] Zatem prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź B.

Rozwiązanie II

W przypadku, kiedy nie mielibyśmy podanych odpowiedzi do wyboru, moglibyśmy rozwiązać zadanie następująco:
Zauważamy, że zgodnie z definicją wartości bezwzględnej wartość wyrażenia \( |3x+1| \) jest równa \( 3x+1 \), gdy \( 3x+1 > 0 \) i \( -(3x+1) \), gdy \( 3x+1 \leq 0 \).
  1. Zajmijmy się przypadkiem, gdy \( 3x+1 > 0 \). Wyliczmy, kiedy \( 3x+1 > 0 \). \[ 3x+1 > 0 / -1 \\ 3x > -1 / :3 \\ x > \frac{-1}{3} / :3 \] Zatem naszym założeniem jest, że \( x > \frac{-1}{3} \). Dla tych \( x \) nasze zadanie będzie miało postać: \[ 3x+1=4x /-3x \\ 1=x \] Dla założenia \(x > \frac{-1}{3}\) otrzymujemy wynik \( x=1 \).
  2. Rozważymy teraz przypadek, gdy \( 3x+1 \leq 0 \). Wyliczmy, kiedy \( 3x+1 \leq 0 \). \[ 3x+1 \leq 0 / -1 \\ 3x \leq -1 / :3 \\ x \leq \frac{-1}{3} \] (Wynik był oczywisty, rozważamy w tym przypadku wszystkie pozostałe \(x\)) Zatem naszym założeniem jest, że \( x \leq \frac{-1}{3} \). Dla tych \( x \) nasze zadanie będzie miało postać: \[ -(3x+1)=4x \\ -3x-1=4x /+3x \\ -1=7x /:7 \\ \frac{-1}{7}=x \] Tak więc założenia \(x \leq \frac{-1}{3}\) otrzymujemy wynik \( x=\frac{-1}{7} \). Jest to oczywiście sprzeczne, więc dla \(x \leq \frac{-1}{3}\) równanie nie ma rozwiązań.
Rozwiązaniem równania jest \( x=1\), czyli prawidłowa odpowiedź to B

Drukuj

Rozwiązanie wideo

Polub nas