Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt

Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu?
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 28, matura 2011 maj

Kąt \( \alpha \) jest ostry i \( \frac{\text{sin}\alpha}{\text{cos}\alpha}+\frac{\text{cos}\alpha}{\text{sin}\alpha}=2 \). Oblicz wartość wyrażenia \( \text{sin}\alpha\cdot \text{cos}\alpha \).

Sprowadzimy wyrażenia z lewej strony równania z treści zadania do wspólnego mianownika: \[ \frac{\text{sin}\alpha}{\text{cos}\alpha}+\frac{\text{cos}\alpha}{\text{sin}\alpha}=2 \\ \frac{\text{sin}\alpha}{\text{cos}\alpha}\cdot\frac{\text{sin}\alpha}{\text{sin}\alpha}+\frac{\text{cos}\alpha}{\text{sin}\alpha}\cdot\frac{\text{cos}\alpha}{\text{cos}\alpha}=2 \\ \frac{\text{sin}^2\alpha \cdot \text{cos}^2\alpha} {\text{cos}\alpha\cdot\text{sin}\alpha}=2 \\ \] Skorzystamy z jedynki trygonometrycznej, czyli z faktu, że dla dowolnego kąta mamy: \[ \class{color1}{\text{sin}}^2\class{color2}{\alpha}+\class{color1}{\text{cos}}^2\class{color2}{\alpha}=1 \] Nasza równość będzie wyglądała następująco \[ \frac{\text{sin}^2\alpha \cdot \text{cos}^2\alpha} {\text{cos}\alpha\cdot\text{sin}\alpha}=2 \\ \frac{1}{\text{cos}\alpha\cdot\text{sin}\alpha}=2 \] W mianowniku mamy interesujący nas iloczyn. Przekształcimy to równanie \[ \begin{matrix} \frac{1}{\text{cos}\alpha\cdot\text{sin}\alpha}=2 & /\cdot\text{cos}\alpha\cdot\text{sin}\alpha \end{matrix}\\ \begin{matrix} 1=2\cdot\text{cos}\alpha\cdot\text{sin}\alpha & /:2 \end{matrix}\\ \text{sin}\alpha\cdot\text{cos}=\frac{1}{2} \] W ostatnim kroku zamieniliśmy strony w równaniu, oraz skorzystaliśmy faktu, że w iloczyn jest działaniem przemiennym.
Policzyliśmy, że \( \text{sin}\alpha\cdot\text{cos}\alpha =\frac{1}{2} \).

Drukuj

Polub nas
Rozwijaj swoje SocialMedia!
Skorzystaj z Naszego nowego Projektu!
Kup Like na Facebook, Instagram, Youtube!