Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu?
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 13, matura 2011 maj

Kąt \( \alpha \) jest ostry i \( \text{cos}\alpha=\frac{5}{13} \). Wtedy
A. \( \text{sin}\alpha=\frac{12}{13} \) oraz \( \text{tg}\alpha=\frac{12}{5} \) B. \( \text{sin}\alpha=\frac{12}{13} \) oraz \( \text{tg}\alpha=\frac{5}{12} \)
C. \( \text{sin}\alpha=\frac{12}{5} \) oraz \( \text{tg}\alpha=\frac{12}{13} \) D. \( \text{sin}\alpha=\frac{5}{12} \) oraz \( \text{tg}\alpha=\frac{12}{13} \)

Policzymy wartość sinusa kąta \(\alpha\) korzystając z jedynki trygonometrycznej, czyli z faktu, że dla każdego kąta mamy: \[ \text{sin}^2\alpha+\text{cos}^2\alpha=1 \] Z treści zadania wiemy, że \( \text{cos}\alpha=\frac{5}{13} \). Podstawimy tę wartość do jedynki trygonometrycznej. \[ \text{sin}^2\alpha+\left(\frac{5}{13}\right)^2=1 \\ \text{sin}^2\alpha+\frac{5^2}{13^2}=1 \\ \begin{matrix} \text{sin}^2\alpha+\frac{25}{169}=1 & /-\frac{25}{169} \end{matrix} \\ \text{sin}^2\alpha=1 -\frac{25}{169} \\ \text{sin}^2\alpha=\frac{169}{169} -\frac{25}{169} \\ \begin{matrix} \text{sin}^2\alpha=\frac{144}{169} & / \sqrt{\hspace{1em}} \end{matrix} \\ \text{sin}\alpha=\sqrt{\frac{144}{169}} \\ \text{sin}\alpha=\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{169}} \\ \text{sin}\alpha=\frac{12}{13} \] Wyliczymy teraz wartość \( \text{tg}\alpha \) wykorzystując fakt, że \[ \text{tg}\alpha = \frac{ \text{sin}\alpha }{ \text{cos}\alpha } \] Jako, że wiemy już, że \( \text{cos}\alpha=\frac{5}{13} \) oraz \( \text{sin}\alpha=\frac{12}{13} \), liczymy: \[ \text{tg}\alpha = \frac{ \frac{12}{13} }{ \frac{5}{13} } \class{mathHint hintDzielToMnozPrzezOdwrot}{=} \frac{12}{13} \cdot \frac{13}{5} = \frac{12}{5} \] \( \text{sin}\alpha=\frac{12}{13} \) oraz \( \text{tg}\alpha=\frac{12}{5} \), więc prawidłowa odpowiedź to odpowiedź A.

Drukuj

Polub nas