Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu?
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 12, matura 2011 maj

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny \( (a_n) \) o wyrazach dodatnich. Wtedy
A. \( a_4+a_7=a_{10} \) B. \( a_4+a_6=a_3+a_8 \)
C. \( a_2+a_9=a_3+a_8 \) D. \( a_5+a_7=2a_8 \)

Zgodnie z definicją ciągu arytmetycznego \(n\)-ty wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy: \[ \class{color3}{a}_\class{color2}{n}=\class{color3}{a}_1+(\class{color2}{n}-1)\class{color1}{r} \] Korzystając z tej zależności sprawdzimy wszystkie dostępne odpowiedzi

A. Wyliczmy wyrazy ciągu \[ \class{color3}{a}_\class{color2}{4}=\class{color3}{a}_1+(\class{color2}{4}-1)\class{color1}{r}=\class{color3}{a}_1+3\class{color1}{r} \\ \class{color3}{a}_\class{color2}{7}=\class{color3}{a}_1+(\class{color2}{7}-1)\class{color1}{r}=\class{color3}{a}_1+6\class{color1}{r} \\ \class{color3}{a}_\class{color2}{10}=\class{color3}{a}_1+(\class{color2}{10}-1)\class{color1}{r}=\class{color3}{a}_1+9\class{color1}{r} \] Czyli: \[ \class{color3}{a}_\class{color2}{4}=\class{color3}{a}_1+3\class{color1}{r} \\ \class{color3}{a}_\class{color2}{7}=\class{color3}{a}_1+6\class{color1}{r} \\ \class{color3}{a}_\class{color2}{10}=\class{color3}{a}_1+9\class{color1}{r} \] Podstawimy teraz te dane do lewej części równania z odpowiedzi A i sprawdzimy, czy dojdziemy do prawej strony \[ \class{color3}{a}_\class{color2}{4}+\class{color3}{a}_\class{color2}{7}=\class{color3}{a}_1+3\class{color1}{r}+\class{color3}{a}_1+6\class{color1}{r} =2\class{color3}{a}_1+9\class{color1}{r}\ne \class{color3}{a}_\class{color2}{10} \] Wyszła nam inna wartość niż \( \class{color3}{a}_\class{color2}{10} \), zatem to nie jest prawidłowa odpowiedź.

B. Analogicznie do sprawdzenia rozwiązania z odpowiedzi A: \[ \class{color3}{a}_\class{color2}{4}=\class{color3}{a}_1+(\class{color2}{4}-1)\class{color1}{r}=\class{color3}{a}_1+3\class{color1}{r} \\ \class{color3}{a}_\class{color2}{6}=\class{color3}{a}_1+(\class{color2}{6}-1)\class{color1}{r}=\class{color3}{a}_1+5\class{color1}{r} \\ \class{color3}{a}_\class{color2}{3}=\class{color3}{a}_1+(\class{color2}{3}-1)\class{color1}{r}=\class{color3}{a}_1+2\class{color1}{r} \\ \class{color3}{a}_\class{color2}{8}=\class{color3}{a}_1+(\class{color2}{8}-1)\class{color1}{r}=\class{color3}{a}_1+7\class{color1}{r} \] Czyli: \[ \class{color3}{a}_\class{color2}{4}=\class{color3}{a}_1+3\class{color1}{r} \\ \class{color3}{a}_\class{color2}{6}=\class{color3}{a}_1+5\class{color1}{r} \\ \class{color3}{a}_\class{color2}{3}=\class{color3}{a}_1+2\class{color1}{r} \\ \class{color3}{a}_\class{color2}{8}=\class{color3}{a}_1+7\class{color1}{r} \] Podstawimy teraz te dane do lewej strony równania z odpowiedzi B: \[ \class{color3}{a}_\class{color2}{4}+\class{color3}{a}_\class{color2}{6}=\class{color3}{a}_1+3\class{color1}{r}+\class{color3}{a}_1+5\class{color1}{r}=2\class{color3}{a}_1+8\class{color1}{r} \] Podstawimy dane do prawej strony równania \[ \class{color3}{a}_\class{color2}{3}+\class{color3}{a}_\class{color2}{8}=\class{color3}{a}_1+2\class{color1}{r}+\class{color3}{a}_1+7\class{color1}{r}=2\class{color3}{a}_1+9\class{color1}{r} \] Prawa strona równania jest różna od strony lewej. Niej jest to prawidłowa odpowiedź.

C. Analogicznie do sprawdzenia rozwiązania z odpowiedzi B: \[ \class{color3}{a}_\class{color2}{2}=\class{color3}{a}_1+(\class{color2}{2}-1)\class{color1}{r}=\class{color3}{a}_1+\class{color1}{r} \\ \class{color3}{a}_\class{color2}{9}=\class{color3}{a}_1+(\class{color2}{9}-1)\class{color1}{r}=\class{color3}{a}_1+8\class{color1}{r} \\ \class{color3}{a}_\class{color2}{3}=\class{color3}{a}_1+(\class{color2}{3}-1)\class{color1}{r}=\class{color3}{a}_1+2\class{color1}{r} \\ \class{color3}{a}_\class{color2}{8}=\class{color3}{a}_1+(\class{color2}{8}-1)\class{color1}{r}=\class{color3}{a}_1+7\class{color1}{r} \] Czyli: \[ \class{color3}{a}_\class{color2}{2}=\class{color3}{a}_1+\class{color1}{r} \\ \class{color3}{a}_\class{color2}{9}=\class{color3}{a}_1+8\class{color1}{r} \\ \class{color3}{a}_\class{color2}{3}=\class{color3}{a}_1+2\class{color1}{r} \\ \class{color3}{a}_\class{color2}{8}=\class{color3}{a}_1+7\class{color1}{r} \] Podstawimy teraz te dane do lewej strony równania z odpowiedzi C: \[ \class{color3}{a}_\class{color2}{2}+\class{color3}{a}_\class{color2}{9}=\class{color3}{a}_1+\class{color1}{r}+\class{color3}{a}_1+8\class{color1}{r}=2\class{color3}{a}_1+9\class{color1}{r} \] Podstawimy dane do prawej strony równania \[ \class{color3}{a}_\class{color2}{3}+\class{color3}{a}_\class{color2}{8}=\class{color3}{a}_1+2\class{color1}{r}+\class{color3}{a}_1+7\class{color1}{r}=2\class{color3}{a}_1+9\class{color1}{r} \] Prawa strona równania jest równa stronie lewej. Jest to prawidłowa odpowiedź.

Drukuj

Polub nas