|
Oznaczmy długość mniejszego (pierwszego) basenu jako \( d_1 \), a szerokość jako \( s_1 \).
Podobnie oznaczmy długość większego (drugiego) basenu jako \( d_2 \), a szerokość jako \( s_2 \).
Z treści zadania wiemy, że
\[
d_2=d_1+5 \\
s_2=s_1+2
\]
Wiemy również, że
\[
d_1\cdot s_1=240 \\
d_2\cdot s_2=350
\]
Podstawmy do drugiego równania wypisane wcześniej zależności (\( d_2=d_1+5\) i \(s_2=s_1+2\)). Otrzymamy układ równań
\[
\left\{
\begin{matrix}
d_1\cdot s_1=240 \\
(d_1+5)(s_1+2)=350
\end{matrix}
\right.
\]
Wyliczmy z pierwszego równania \( d_1 \)
\[
\begin{matrix}
d_1\cdot s_1=240
&
/:s_1
\end{matrix}\\
d_1=\frac{240}{s_1}
\]
Po wstawieniu tego do drugiego równania otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą
\[
\left(\frac{240}{s_1}+5\right)(s_1+2)=350 \\
\frac{240}{s_1}\cdot s_1+\frac{240}{s_1}\cdot 2+5\cdot s_1+5\cdot 2=350 \\
240+2\frac{240}{s_1}+5\cdot s_1+10=350\\
\begin{matrix}
250+\frac{480}{s_1}+5\cdot s_1=350
&
/-350
\end{matrix}\\
\begin{matrix}
-100+\frac{480}{s_1}+5\cdot s_1=0
&
/:5
\end{matrix}\\
\begin{matrix}
-20+\frac{96}{s_1}+s_1=0
&
/\cdot s_1
\end{matrix}\\
-20s_1+96+s_1^2=0 \\
s_1^2-20s_1+96=0
\]
Mamy równanie kwadratowe postaci \(f(x)=0\) gdzie funkcja \(f(x)\) zapisana jest w postaci ogólnej, a jej współczynniki to: \[ \class{color1}{a}=1\\ \class{color2}{b}=-20\\ \class{color3}{c}=96 \]
Wyliczymy miejsca zerowe funkcji \(s_1^2-20s_1+96\). Wpierw policzymy deltę. \[ \bigtriangleup =\class{color2}{b}^2-4\class{color1}{a}\class{color3}{c}=(-20)^2-4\cdot1\cdot96=400-384=16 \] Delta jest większa od zera, mamy zatem dwa miejsca zerowe. Wyliczymy je: \[ \sqrt{\bigtriangleup}=\sqrt{16}=4 \\ s_{11}=\frac{-\class{color2}{b}-\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}= \frac{-(-20)-4}{2\cdot1}=\frac{20-4}{2}=\frac{16}{2}=8 \\ s_{12}=\frac{-\class{color2}{b}+\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}= \frac{-(-20)+4}{2\cdot1}=\frac{20+4}{2}=\frac{24}{2}=12 \] Szerokość pierwszego basenu to \(8\) lub \(12\). Wcześniej wyliczyliśmy zależność \(d_1=\frac{240}{s_1}\), zatem \[ d_{11}=\frac{240}{8}=30 \\ d_{12}=\frac{240}{12}=20 \] Więc wymiary pierwszego basenu to \(8\times30\) lub \(12\times20\). Wcześniej zapisaliśmy zależność: \[ s_2=s_1+2 \\ d_2=d_1+5 \] Mamy więc \[ s_{21}=8+2=10\\ s_{22}=12+2=12\\[1em] d_{21}=30+5=35\\ d_{22}=20+5=25 \] Mamy więc dwie możliwości:
Odpowiedź: Wymiary basenów to \(8\times30\) i \(10\times35\) lub \(12\times20\) i \(12\times25\).
