Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu?
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 26, matura 2010 maj

Rozwiąż nierówność \(x^2-x-2\le0\).

Mamy do czynienia z nierównością kwadratową. Rozwiążemy ją rysując wykres funkcji \(f(x)=x^2-x-2\), a następnie odczytując z wykresu, dla których \(x\) funkcja przybiera wartość mniejszą lub równą \(0\).

Aby narysować odpowiedni wykres funkcji \(x^2-x-2\), musimy znać jej miejsca zerowe oraz wiedzieć, w którą stronę skierowane są ramiona paraboli. Funkcja zapisana jest w postaci ogólnej, a jej współczynniki to: \[ \class{color1}{a}=1\\ \class{color2}{b}=1\\ \class{color3}{c}=-2 \]

Odczytamy z równania, w którą stronę skierowane są ramiona paraboli. Współczynnik \(\class{color1}{a}\) funkcji jest równy \(1\), a zatem jest większy od zera. Ramiona paraboli będą skierowane w górę.

Wyliczymy miejsca zerowe funkcji \(x^2-x-2\). Wpierw policzymy deltę. \[ \bigtriangleup =\class{color2}{b}^2-4\class{color1}{a}\class{color3}{c}\\ \bigtriangleup =(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)\\=1-4\cdot(-2)=1+(-8)=1+8=9 \] Delta jest większa od zera, mamy zatem dwa miejsca zerowe. Wyliczymy je: \[ \sqrt{\bigtriangleup}=\sqrt{9}=3\\ x_1=\frac{-\class{color2}{b}-\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}\\ x_2=\frac{-\class{color2}{b}+\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}\\[0.3in] x_1=\frac{-(-1)-3}{2\cdot1}=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1\\ x_2=\frac{-(-1)+3}{2\cdot1}=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2 \] A więc miejsca zerowe funkcji \(f(x)=x^2-x-2\) to \(-1\) oraz \(2\).

Narysujemy wykres naszej funkcji: x -1 2 Pomarańczowym kolorem zostały zaznaczone te \(x\) z osi liczbowej, dla których \(f(x)\le 0\) (wartości funkcji mniejsze od zera położone są pod osią \( \text{O}x\)). Tak więc \(x\in \left\langle -1,2 \right\rangle \).

Odpowiedź: \(x^2-x-2\le 0\) gdy \(x\in \left\langle -1,2 \right\rangle \).

Drukuj

Polub nas