Kąt \( \alpha \) jest ostry i \( \text{sin}\alpha=\frac{3}{4} \). Wartość wyrażenia \( 2-\text{cos}^2\alpha \) jest równa
|
A. \( \frac{25}{16} \)
|
B. \( \frac{3}{2} \)
|
C. \( \frac{17}{16} \)
|
D. \( \frac{31}{16} \)
|
Wartość \( \text{cos}^2\alpha \) policzymy stosując jedynkę trygonometryczną, czyli zależność:
\[
\class{color1}{\text{sin}}^2\class{color2}{\alpha}+\class{color1}{\text{cos}}^2\class{color2}{\alpha}=1
\]
Wiemy, że \( \text{sin}\alpha=\frac{3}{4} \), podstawmy tę wartość do jedynki trygonometrycznej i wyliczmy wartość \( \text{cos}^2\alpha \)
\[
\left(\frac{3}{4}\right)^2+\text{cos}^2\alpha=1 \\
\frac{3^2}{4^2}+\text{cos}^2\alpha=1 \\
\begin{matrix}
\frac{9}{16}+\text{cos}^2\alpha=1
&
/-\frac{9}{16}
\end{matrix} \\
\text{cos}^2\alpha=1-\frac{9}{16}=\frac{16}{16}-\frac{9}{16}=\frac{16-9}{16}=\frac{7}{16}
\]
Policzyliśmy, że \( \text{cos}^2\alpha=\frac{7}{16} \). W takim razie mamy
\[
2-\text{cos}^2\alpha = 2-\frac{7}{16}=\frac{32}{16}-\frac{7}{16}=\frac{32-7}{16}=\frac{25}{16}
\]
Prawidłowa odpowiedź to A.
Drukuj
