Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt

Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu?
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 9, próbna matura 2012 listopad

W trójkącie równoramiennym wysokość jest dwa razy dłuższa od podstawy. Wynika stąd, że sinus kąta przy podstawie wynosi:
A. \( \frac{\sqrt{17}}{17} \) B. \( \frac{\sqrt{5}}{5}\) C. \( \frac{4\sqrt{17}}{17} \) D. \( \frac{1}{17} \)

Załóżmy, że ramiona trójkąta (boki tej samej długości w trójkącie równoramiennym) mają długość \(a\), a podstawa ma długość \(b\). Wtedy, wedle treści zadania wysokość ma długość \(2b\) (jest dwa razy dłuższa od podstawy.
Zaznaczmy na rysunku wysokość, ramiona trójkąta oraz kąt, którego sinus będziemy szukać. Dodatkowo zaznaczmy połowę podstawy (podstawa ma długość \(b\), więc jej połowa będzie miała długość\(\frac{b}{2}\)). a a b/2 2b α Zajmiemy się trójkątem prostokątnym, który ma boki długości \(a\), \(2b\) i \(\frac{b}{2}\).
Sinus kąta \(\alpha\) to iloraz przyprostokątnej leżącej na przeciw kąta \( \alpha \) i przeciwprostokątnej. Czyli w naszym przypadku \[ \text{sin}\alpha=\frac{2b}{a} \] Policzymy używając twierdzenia pitagorasa dla tego trójkąta prostokątnego długość \(a\). \[ \frac{b}{2}^2+(2b)^2=a^2 \\ \frac{b^2}{4}+4b^2=a^2 \\ \frac{b^2}{4}+4b^2\frac{4}{4}=a^2\\ \frac{b^2}{4}+\frac{16b^2}{4}=a^2\\ \begin{matrix} \frac{17b^2}{4}=a^2 & /\sqrt{\hspace{1em}} \end{matrix}\\ a=\sqrt{\frac{17b^2}{4}}\class{mathHint hintRozPierwWzglDziel}{=}\frac{\sqrt{17b^2}}{\sqrt{4}}\class{mathHint hintRozPierwWzglMnoz}{=} \frac{\sqrt{17}\sqrt{b^2}}{2}=\frac{\sqrt{17}b}{2} \] Policzymy teraz sinus kąta \( \alpha \) \[ \text{sin}\alpha=\frac{2b}{a}=\frac{2b}{\frac{\sqrt{17}b}{2}}\class{mathHint hintDzielToMnozPrzezOdwrot}{=}2b\cdot\frac{2}{\sqrt{17}b}=\frac{4}{\sqrt{17}} \class{mathHint hintUsunNiewymZMian}{=}\\ \class{mathHint hintUsunNiewymZMian}{=}\frac{4}{\sqrt{17}}\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}=\frac{4\sqrt{17}}{17} \] Zatem prawidłowa odpowiedź to C.

Drukuj

Polub nas
Rozwijaj swoje SocialMedia!
Skorzystaj z Naszego nowego Projektu!
Kup Like na Facebook, Instagram, Youtube!