Zadania → Zadania maturalne → Matura próbna z matematyki, listopad 2012 → nr 7, próbna matura 2012 listopad |
| A. \( x,y,z \) | B. \( y,x,z \) | C. \( x,y,z \) | D. \( z,x,y \) |
Z liczb \(x\) i \(y\) wyciągniemy niewymierność z mianownika.
\[
x=\frac{3}{\sqrt{5}-2}=\frac{3}{\sqrt{5}-2}\cdot \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}=\frac{3(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}\class{mathHint hintWzorSkrocMnoz}{=}\\
\class{mathHint hintWzorSkrocMnoz}{=}\frac{3\sqrt{5}+3\cdot2}{\sqrt{5}^2-2^2}=
\frac{3\sqrt{5}+6}{5-4}=\frac{3\sqrt{5}+6}{1}=3\sqrt{5}+6
\]
\[
y=\frac{12}{\sqrt{5}-1}+1=\frac{12}{\sqrt{5}-1}\cdot \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}+1=\\
=\frac{12(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}+1\class{mathHint hintWzorSkrocMnoz}{=}\frac{12\sqrt{5}+12\cdot1}{\sqrt{5}^2-1^2}+1=
\\=
\frac{12\sqrt{5}+12}{5-1}+1=\frac{12\sqrt{5}+12}{4}+1=3\sqrt{5}+3+1=\\
=3\sqrt{5}+4
\]
Widzimy, że liczby \( z=3\sqrt{5}+2 \), \( y=3\sqrt{5}+4 \) i \( x=3\sqrt{5}+6 \) tworzą w tej kolejności rosnący ciąg arytmetyczny, o różnicy \( 2 \).
Zatem prawidłowa odpowiedź to odpowiedź A.
