Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt

Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu?
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 32, matura próbna 2012 listopad

Turysta pokonał pieszo trasę długości 30km z miejscowości \( A \) do miejscowości \(B\) ze stałą prędkością. Rowerem poruszałby się z prędkością o 9km/h większą i przybyłby do celu o 3 godziny wcześniej. Wyznacz prędkość marszu turysty i czas przejścia tej drogi.

Oznaczmy jako \(\class{color1}{v_p}\) prędkość, jaką pieszo poruszał się turysta, oraz niech \(\class{color2}{t_p}\) będzie czasem, w jaki przebył tę drogę.
Mamy \[ \class{color2}{t_p}\cdot \class{color1}{v_p}=30 \] Oznaczmy jako \(\class{color1}{v_r}\) prędkość, jaką turysta poruszał się rowerem. Z treści zadania wiemy, że prędkość ta była o 9km/h większa od \(\class{color1}{v_p}\), czyli \[ \class{color1}{v_r}=\class{color1}{v_p}+9\tag{I} \] Niech \(\class{color2}{t_r}\) będzie czasem, w jaki turysta pokonał tę trasę rowerem. Zgodnie z treścią zadania czas ten był o 3 godziny krótszy od \(\class{color2}{t_p}\), zapiszemy to matematycznie \[ \class{color2}{t_r}=\class{color2}{t_p}-3\tag{II} \] Oczywiście mamy też \[ \class{color2}{t_r}\cdot \class{color1}{v_r}=30 \] Wstawimy wartości z równań \(\text{I}\) i \(\text{II}\) \[ (\class{color2}{t_p}-3)(\class{color1}{v_p}+9)=30 \tag{III} \]

Wróćmy do równania \( \class{color2}{t_p}\cdot \class{color1}{v_p}=30 \). Wyliczymy zależność pomiędzy \( \class{color2}{t_p} \) i \( \class{color1}{v_p} \) \[ \begin{matrix} \class{color2}{t_p}\cdot \class{color1}{v_p}=30 & /:\class{color2}{t_p} \end{matrix} \\ \class{color1}{v_p}=\frac{30}{\class{color2}{t_p}} \] Wstawimy to do równania \(\text{III}\) i wyliczymy \( \class{color2}{t_p} \) \[ (\class{color2}{t_p}-3)(\frac{30}{\class{color2}{t_p}}+9)=30 \\ \class{color2}{t_p}\cdot \frac{30}{\class{color2}{t_p}} + \class{color2}{t_p} \cdot 9 -3 \cdot\frac{30}{\class{color2}{t_p}} -3\cdot 9 = 30 \\ \begin{matrix} 30+ 9\class{color2}{t_p}-\frac{90}{\class{color2}{t_p}}-27=30 & /-30 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 9\class{color2}{t_p}-\frac{90}{\class{color2}{t_p}}-27=0 & /:9 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \class{color2}{t_p}-\frac{10}{\class{color2}{t_p}}-3=0 & /\cdot \class{color2}{t_p} \end{matrix} \\ \class{color2}{t_p}^2-10-3\class{color2}{t_p}=0 \\ \class{color2}{t_p}^2-3\class{color2}{t_p}-10=0 \] Mamy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, czyli \[ \class{color1}{a}t_p^2+\class{color2}{b}t_p+\class{\color3}{c}=0 \] Odczytujemy współczynniki równania \[ \class{color1}{a}=1\\ \class{color2}{b}=-3\\ \class{\color3}{c}=-10 \] Rozwiążemy zadanie licząc deltę i wyliczając pierwiastki \[ \bigtriangleup =\class{color2}{b}^2-4\class{color1}{a}\class{color3}{c}=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-10)=9-(-40)=49 \] Delta jest większa od zera, mamy zatem dwa rozwiązania, wyliczymy je \[ \sqrt{\bigtriangleup}=\sqrt{49}=7 \\ t_{p1}=\frac{-\class{color2}{b}-\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}=\frac{-(-3)-7}{2\cdot1}=\frac{3-7}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \\ t_{p2}=\frac{-\class{color2}{b}+\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}=\frac{-(-3)+7}{2\cdot1}=\frac{3+7}{2}=\frac{10}{2}=5 \] Oczywiście turysta nie podróżował ujemną liczbę godzin. Zatem odrzucamy \( t_{p1}=-2 \). Podróżował więc \( 5 \) godzin.
Wcześniej wyliczyliśmy, że \[ \class{color1}{v_p}=\frac{30}{\class{color2}{t_p}} \] Więc \[ \class{color1}{v_p}=\frac{30}{5}=6 \] Odpowiedź: Prędkość marszu turysty to 6km/h, a drogę przebył w 5 godzin.

Drukuj

Polub nas
Rozwijaj swoje SocialMedia!
Skorzystaj z Naszego nowego Projektu!
Kup Like na Facebook, Instagram, Youtube!