Zadania → Zadania maturalne → Matura próbna z matematyki, listopad 2012 → nr 3, próbna matura 2012 listopad |
| A. \( \left(-\infty,\frac{3}{2}\right) \) | B. \( (-\infty,-1)\cup(4,\infty) \) |
| C. \( (-1,4) \) | D. \( (-4,1) \) |
Zadanie jest jednoznaczne z rozwiązaniem nierówności \( x^2-3x-4<0 \). Rozwiążemy ją.
Mamy do czynienia z nierównością kwadratową. Rozwiążemy ją rysując wykres funkcji \(f(x)=x^2-3x-4 \), a następnie odczytując z wykresu, dla których \(x\) funkcja przybiera wartości mniejszą od \(0\).
Aby narysować odpowiedni wykres funkcji \(x^2-3x-4\), musimy znać jej miejsca zerowe oraz wiedzieć, w którą stronę skierowane są ramiona paraboli. Funkcja zapisana jest w postaci ogólnej, a jej współczynniki to: \[ \class{color1}{a}=1\\ \class{color2}{b}=-3\\ \class{color3}{c}=-4 \]
Odczytamy z równania, w którą stronę skierowane są ramiona paraboli. Współczynnik \(\class{color1}{a}\) funkcji jest równy \(1\), a zatem jest większy od zera. Ramiona paraboli będą skierowane w górę.
Wyliczymy miejsca zerowe funkcji \(x^2-3x-4\). Wpierw policzymy deltę. \[ \bigtriangleup =\class{color2}{b}^2-4\class{color1}{a}\class{color3}{c}\\ \bigtriangleup =(-3)^2-4\cdot1\cdot(-4)=9-4\cdot(-4)=9+16=25 \] Delta jest większa od zera, mamy zatem dwa miejsca zerowe. Wyliczymy je: \[ \sqrt{\bigtriangleup}=\sqrt{25}=5\\ x_1=\frac{-\class{color2}{b}-\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}\\ x_2=\frac{-\class{color2}{b}+\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}\\[0.3in] x_1=\frac{-(-3)-5}{2\cdot1}=\frac{3-5}{2}=\frac{-2}{2}=-1\\[0.3in] x_2=\frac{-(-3)+5}{2\cdot1}=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4 \] A więc miejsca zerowe funkcji \(f(x)=x^2-3x-4\) to \(-1\) oraz \(4\).
Narysujemy jej wykres Na osi \(\text{O}x\) został oznaczony przedział zawierające te \(x\), dla których \(f(x)< 0\). Funkcja ma wartości mniejsze od \(0\), gdy jej wykres leży pod osią \(\text{O}x\). Tak więc \(x\in (-1,4) \).
Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź C.
