Matematyka - zadania z matematyki

Mamy do czynienia z równaniem typu \( W(x)=0 \), gdzie \( W \) to wielomian. Istotą zadania jest zatem znalezienie pierwiastków wielomianu. Rozwiążemy to zadanie sprowadzając wielomian do postaci iloczynowej, czyli postaci: \[ W(x)=\class{color1}{a}(x-\class{color2}{x_1})(x-\class{color2}{x_2})\cdot\dots \] Gdzie liczby \( \class{color2}{x_1}, \class{color2}{x_2}, \dots \) to miejsca zerowe wielomianu (czyli szukane miejsca, dla których \( W(x)=0 \)).

Zauważamy, że współczynnik przy \( x^2 \) jest \( 2 \) razy większy od współczynnika przy \( x^3 \). Podobnie współczynnik przy \( x^0 \) (\(-10\cdot x^0=-10\cdot1=-10\)) jest \(2\) razy większy od współczynnika przy \( x^1 \). Korzystając z tego faktu wykonujemy działania: \[ x^3+2x^2-5x-10=\class{color1}{x^2}\cdot x+\class{color1}{x^2}\cdot 2 - (5x+10)\class{mathHint hintWyciagnieciePrzedNawias}{=}\\ \class{mathHint hintWyciagnieciePrzedNawias}{=} \class{color1}{x^2}(x+2)-(\class{color3}{5}\cdot x + \class{color3}{5}\cdot 2)=x^2\class{color2}{(x+2)}-\class{color3}{5}\class{color2}{(x+2)}\class{mathHint hintWyciagnieciePrzedNawias}{=}\\ \class{mathHint hintWyciagnieciePrzedNawias}{=}(x+2)\class{color1}{(x^2-5)}\class{mathHint hintWzorSkrocMnoz}{=}(x+2)\class{color1}{(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})} \] Widzimy, że postać iloczynowa wielomianu \( x^3+2x^2-5x-10 \) to \[ W(x)=(x+2)(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})=\\=(x-\class{color2}{(-2)})(x-\class{color2}{\sqrt{5}})(x-\class{color2}{(-\sqrt{5})}) \] Zatem pierwiastki wielomianu \( x^3+2x^2-5x-10 \) to \( 2 \), \( \sqrt{5} \) i \( -\sqrt{5} \).

Odpowiedź: rozwiązania równania \( x^3+2x^2-5x-10=0 \) to liczby \( 2,\sqrt{5},-\sqrt{5} \).