Mamy do czynienia z równaniem typu \( W(x)=0 \), gdzie \( W \) to wielomian. Istotą zadania jest zatem znalezienie pierwiastków wielomianu. Rozwiążemy to zadanie sprowadzając wielomian do postaci iloczynowej, czyli postaci:
\[
W(x)=\class{color1}{a}(x-\class{color2}{x_1})(x-\class{color2}{x_2})\cdot\dots
\]
Gdzie liczby \( \class{color2}{x_1}, \class{color2}{x_2}, \dots \) to miejsca zerowe wielomianu (czyli szukane miejsca, dla których \( W(x)=0 \)).
Wykonujemy więc działania:
\[
2x^3+8x^2-3x-12=2x^2\cdot x+2x^2\cdot 4 - (3x+12)\class{mathHint hintWyciagnieciePrzedNawias}{=}\\
\class{mathHint hintWyciagnieciePrzedNawias}{=}
2x^2(x+4)-(3\cdot x + 3\cdot 4)=2x^2(x+4)-3(x+4)\class{mathHint hintWyciagnieciePrzedNawias}{=}\\
\class{mathHint hintWyciagnieciePrzedNawias}{=}(2x^2-3)(x+4)
\]
Pierwszy czynnik iloczynu to funkcja kwadratowa \( 2x^2-3 \). Sprowadzimy ją do postaci iloczynowej licząc jej pierwiastki
\[
\begin{matrix}
2x^2-3=0
&
/+3
\end{matrix}\\
\begin{matrix}
2x^2=3
&
/:2
\end{matrix} \\
\begin{matrix}
x^2=\frac{3}{2}
&
/\sqrt{\hspace{1em}}
\end{matrix} \\
|x|=\sqrt{\frac{3}{2}}\class{mathHint hintRozPierwWzglDziel}{=}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\class{mathHint hintUsunNiewymZMian}{=} \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\\
=
\frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{\sqrt{2}^2} \class{mathHint hintRozPierwWzglMnoz hintKwadratPierwiastka}=\frac{\sqrt{6}}{2}
\]
Mamy
\[
|x|=\frac{\sqrt{6}}{2} \\
x=\frac{\sqrt{6}}{2} \vee x=-\frac{\sqrt{6}}{2}
\]
Współczynnik \( a \) funkcji \( 2x^2-3 \) to \( 2 \), zatem funkcja ta w postaci iloczynowej będzie miała postać \( 2(x-\frac{\sqrt{6}}{2})(x+\frac{\sqrt{6}}{2}) \).
Wielomian możemy więc zapisać:
\[
(2x^2-3)(x+4)=2(x-\frac{\sqrt{6}}{2})(x+\frac{\sqrt{6}}{2})(x+4)
\]
Odczytujemy miejsca zerowe:
\[
x_1=\frac{\sqrt{6}}{2}\\
x_2=-\frac{\sqrt{6}}{2}\\
x_3=-4
\]
Odpowiedź: rozwiązania równania \( 2x^3+8x^2-3x-12=0 \) to liczby \( \frac{\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{6}}{2}, -4 \).