Matematyka - zadania z matematyki

Wartość \( \cos^2\alpha \) policzymy wykorzystując jedynkę trygonometryczną, czyli \[ \class{color1}{\text{sin}}^2\class{color2}{\alpha}+\class{color1}{\text{cos}}^2\class{color2}{\alpha}=1 \] Podstawmy za \( \sin \alpha \) wartość z treści zadania, czyli \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) i wyliczmy \( \cos^2\alpha \). \[ \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1 \\ \frac{\sqrt{3}^2}{3^2} + \cos^2\alpha = 1 \\ \begin{matrix} \frac{3}{9} + \cos^2\alpha = 1 & / - \frac{3}{9} \end{matrix} \\ \cos^2\alpha = 1- \frac{3}{9} = \frac{6}{9}=\frac{2}{3} \]

Podstawmy do wyrażenia z zadania \( 2\cos^2\alpha - 1 \) wyliczoną wartość i wyliczmy \[ 2\cos^2\alpha - 1 = 2\cdot\frac{2}{3} - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{4}{3}-\frac{3}{3}=\\ \frac{4-3}{3}=\frac{1}{3} \]

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.