|
Sprowadzimy wyrażenia z lewej strony równania z treści zadania do wspólnego mianownika:
\[
\frac{\text{sin}\alpha}{\text{cos}\alpha}+\frac{\text{cos}\alpha}{\text{sin}\alpha}=2 \\
\frac{\text{sin}\alpha}{\text{cos}\alpha}\cdot\frac{\text{sin}\alpha}{\text{sin}\alpha}+\frac{\text{cos}\alpha}{\text{sin}\alpha}\cdot\frac{\text{cos}\alpha}{\text{cos}\alpha}=2 \\
\frac{\text{sin}^2\alpha \cdot \text{cos}^2\alpha}
{\text{cos}\alpha\cdot\text{sin}\alpha}=2 \\
\]
Skorzystamy z jedynki trygonometrycznej, czyli z faktu, że dla dowolnego kąta mamy:
\[
\class{color1}{\text{sin}}^2\class{color2}{\alpha}+\class{color1}{\text{cos}}^2\class{color2}{\alpha}=1
\]
Nasza równość będzie wyglądała następująco
\[
\frac{\text{sin}^2\alpha \cdot \text{cos}^2\alpha}
{\text{cos}\alpha\cdot\text{sin}\alpha}=2 \\
\frac{1}{\text{cos}\alpha\cdot\text{sin}\alpha}=2
\]
W mianowniku mamy interesujący nas iloczyn. Przekształcimy to równanie
\[
\begin{matrix}
\frac{1}{\text{cos}\alpha\cdot\text{sin}\alpha}=2
&
/\cdot\text{cos}\alpha\cdot\text{sin}\alpha
\end{matrix}\\
\begin{matrix}
1=2\cdot\text{cos}\alpha\cdot\text{sin}\alpha
&
/:2
\end{matrix}\\
\text{sin}\alpha\cdot\text{cos}=\frac{1}{2}
\]
W ostatnim kroku zamieniliśmy strony w równaniu, oraz skorzystaliśmy faktu, że w iloczyn jest działaniem przemiennym.
Policzyliśmy, że \( \text{sin}\alpha\cdot\text{cos}\alpha =\frac{1}{2} \).
