Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu w świetnej cenie? Kliknij tutaj
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
zadaniamatematyczne@op.pl
Napisz wiadomość

Zadanie nr 33, matura 2012 maj

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDEFGH\) przekątna \(AC\) podstawy ma długość \(4\). Kąt \(ACE\) jest równy \(60^{\circ}\). Oblicz objętość objętość ostrosłupa \(ABCDE\) przedstawionego na poniższym rysunku. H G F E A B C D

Aby wyliczyć objętość ostrosłupa, musimy znać jego wysokość oraz pole podstawy.
Jako że graniastosłup \(ABCDEFGH\) jest prawidłowy czworokątny, to jego podstawą (jak również ostrosłupa \(ABCDE\))jest kwadrat.
Oznaczymy sobie na rysunku wysokość (\(h\)), długość boku podstawy (\(a\)) oraz przekątną \(AC\) podstawy, która ma długość \(4\). H G F E A B C D a h 4 Więc w naszym przypadku wzór na objętość ostrosłupa ma postać: \[ V=\frac{P_p\cdot h}{3}=\frac{a^2\cdot h}{3} \]

Aby policzyć wysokość ostrosłupa skorzystamy z trójkąta \(ACE\). Kąt \(EAC\) jest oczywiście prosty (\(90^{\circ}\)) kąt \(ACE\) zgodnie z treścią zadania jest równy \(60^{\circ}\). Jako że suma kątów w trójkącie jest równa \(180^{\circ}\), to kąt \(CEA\) musi być równy \(30^{\circ}\). Narysujmy ten trójkąt: E A C 60° 30° h 4 Wyliczymy \(h\) korzystając z kotangensa kąta \(ACE\). Mamy: \[ \begin{matrix} \text{tg}60^{\circ}=\frac{h}{4} & /\cdot 4 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4\text{ tg}60^{\circ}=h\text{,} & \class{mathHint hintTrygPodstWart}{\text{tg}60^{\circ}=\sqrt{3}} \end{matrix} \\ h=4\text{tg}60^{\circ}= 4\sqrt{3} \] Wysokość ostrosłupa jest więc równa \(2\).

Policzymy teraz pole podstawy, czyli \(a^2\), korzystając z trójkąta \(ABC\). Przyprostokątne mają długość \(a\), a przeciwprostokątna ma długość 4. Korzystając z twierdzenia pitagorasa: \[ a^2+a^2=4^2\\ \begin{matrix} 2a^2=16 & /:2 \end{matrix}\\ a^2=8 \] Pole podstawy wynosi \(8\).

Policzymy objętość ostrosłupa: \[ V=\frac{P_p\cdot h}{3}=\frac{a^2\cdot h}{3}=\frac{8\cdot 4\sqrt{3}}{3}=\frac{32\sqrt{3}}{3} \]

Drukuj

Polub nas