Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu w świetnej cenie? Kliknij tutaj
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
[email protected]
Napisz wiadomość

Zadanie nr 20, matura 2011 maj

Pole powierzchni sześcianu jest równe \( 54 \). Długość przekątnej tego sześcianu jest równa
A. \( \sqrt{6} \) B. \( 3 \) C. \( 9 \) D. \( 3\sqrt{3} \)

Rysunek do zadania: a a D d a Długość przekątnej sześcianu \( \class{color3}{D} \) możemy policzyć przy twierdzenia pitagorasa, jeżeli znamy długość przekątnej ściany \( \class{color2}{d} \) oraz długość krawędzi \( \class{color1}{a} \)

Pole powierzchni sześcianu, to suma pól sześciu ścian, które oczywiście w sześcianie są kwadratami. Jako że wzór na pole kwadratu o boku długości \( \class{color1}{a} \) to \( \class{color1}{a}^2 \), to wzór na pole powierzchni sześcianu jest następujący: \[ P_p=6\cdot \class{color1}{a}^2 \] Wiedząc, że pole powierzchni jest równe \( 54 \) wyliczymy długość boku kwadratu (i oczywiście jednocześnie krawędzi sześcianu) \[ P_p=6\cdot \class{color1}{a}^2 \\ \begin{matrix} 54=6\cdot \class{color1}{a}^2 & /:6 \end{matrix} \\ \frac{54}{6}=\class{color1}{a}^2 \\ \begin{matrix} 9=\class{color1}{a}^2 & /\sqrt{\hspace{1em}} \end{matrix} \\ \class{color1}{a}=\sqrt{9}=3 \] Długość krawędzi sześcianu to \( 3 \).

Policzymy długość przekątnej kwadratu korzystając z twierdzenia pitagorasa: d 3 3 \[ 3^2+3^2=\class{color2}{d}^2 \\ 9+9=\class{color2}{d} \\ \begin{matrix} 18=\class{color2}{d}^2 & /\sqrt{\hspace{1em}} \end{matrix} \\ \class{color2}{d}=\sqrt{18} \] Długość przekątnej ściany to \( \sqrt{18} \)

Policzymy długość przekąnej sześcianu przy użyciu twierdzenia pitagorasa. \[ \class{color1}{a}^2+\class{color2}{d}^2=\class{color3}{D}^2 \\ 3^2+\sqrt{18}^2=\class{color3}{D}^2 \\ 9+18-\class{color3}{D}^2 \\ \begin{matrix} 27=\class{color3}{D}^2 & /\sqrt{\hspace{1em}} \end{matrix} \\ \class{color3}{D}=\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3} \class{mathHint hintRozPierwWzglMnoz}{=}\sqrt{9}\sqrt{3}=3\sqrt{3} \] Długość przekątnej sześcianu to \( 3\sqrt{3} \).
Prawidłowa odpowiedź to D

Drukuj

Polub nas