|
| A. \( \sqrt{6} \) | B. \( 3 \) | C. \( 9 \) | D. \( 3\sqrt{3} \) |
Rysunek do zadania: Długość przekątnej sześcianu \( \class{color3}{D} \) możemy policzyć przy twierdzenia pitagorasa, jeżeli znamy długość przekątnej ściany \( \class{color2}{d} \) oraz długość krawędzi \( \class{color1}{a} \)
Pole powierzchni sześcianu, to suma pól sześciu ścian, które oczywiście w sześcianie są kwadratami. Jako że wzór na pole kwadratu o boku długości \( \class{color1}{a} \) to \( \class{color1}{a}^2 \), to wzór na pole powierzchni sześcianu jest następujący: \[ P_p=6\cdot \class{color1}{a}^2 \] Wiedząc, że pole powierzchni jest równe \( 54 \) wyliczymy długość boku kwadratu (i oczywiście jednocześnie krawędzi sześcianu) \[ P_p=6\cdot \class{color1}{a}^2 \\ \begin{matrix} 54=6\cdot \class{color1}{a}^2 & /:6 \end{matrix} \\ \frac{54}{6}=\class{color1}{a}^2 \\ \begin{matrix} 9=\class{color1}{a}^2 & /\sqrt{\hspace{1em}} \end{matrix} \\ \class{color1}{a}=\sqrt{9}=3 \] Długość krawędzi sześcianu to \( 3 \).
Policzymy długość przekątnej kwadratu korzystając z twierdzenia pitagorasa: \[ 3^2+3^2=\class{color2}{d}^2 \\ 9+9=\class{color2}{d} \\ \begin{matrix} 18=\class{color2}{d}^2 & /\sqrt{\hspace{1em}} \end{matrix} \\ \class{color2}{d}=\sqrt{18} \] Długość przekątnej ściany to \( \sqrt{18} \)
Policzymy długość przekąnej sześcianu przy użyciu twierdzenia pitagorasa.
\[
\class{color1}{a}^2+\class{color2}{d}^2=\class{color3}{D}^2 \\
3^2+\sqrt{18}^2=\class{color3}{D}^2 \\
9+18-\class{color3}{D}^2 \\
\begin{matrix}
27=\class{color3}{D}^2
&
/\sqrt{\hspace{1em}}
\end{matrix} \\
\class{color3}{D}=\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3} \class{mathHint hintRozPierwWzglMnoz}{=}\sqrt{9}\sqrt{3}=3\sqrt{3}
\]
Długość przekątnej sześcianu to \( 3\sqrt{3} \).
Prawidłowa odpowiedź to D
