Matura z matematyki

Matematyka - zadania z matematyki

Zadania matematyczne Mapa strony Kontakt
Korepetycje u autora przez internet!
Szukasz korepetycji na najwyższym poziomie bez wychodzenia z domu w świetnej cenie? Kliknij tutaj
Przydatne materiały
Kontakt z nami
Kontakt
ZadaniaMatematyczne.pl
zadaniamatematyczne@op.pl
Napisz wiadomość

Zadanie nr 25, matura 2013 maj

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości \( 7 \) jest równa \( 28\sqrt{3} \). Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa
A. \( 2 \) B. \( 4 \) C. \( 8 \) D. \( 16 \)

Objętość graniastosłupa liczymy mnożąc pole podstawy (\( P_p \)) razy jego wysokość (\(H\)). \[ V=P_p \cdot H \] Z treści zadania wiemy, że objętość równa jest \( 28\sqrt{3} \), a wysokość równa jest \( 7 \). Wyliczmy w takim razie pole podstawy korzystając z zapisanego wzoru. \[ V=P_p \cdot H \\ \begin{matrix} 28\sqrt{3} = P_p \cdot 7 & /:7 \end{matrix} \\ \frac{28\sqrt{3}}{7} = P_p \\ P_p = 4\sqrt{3} \]

Wiemy, że omawiany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny. Podstawą takiego graniastosłupa jest trójkąt równoboczny. Pole takiego trójkąta (w tym przypadku jest to pole podstawy) liczymy korzystając z wzoru \[ P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \] Gdzie \( a \) to długość boku trójkąta (krawędzi podstawy). W przypadku, gdy zapomnieliśmy o tym wzorze, możemy go łatwo wyprowadzić dzieląc trójkąt równoboczny na dwa trójkąty prostokątne i korzystając z twierdzenia pitagorasa.

Wyliczmy więc długość krawędzi podstawy. \[ P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\\ \begin{matrix} 4\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} & /\cdot \frac{4}{\sqrt{3}} \end{matrix} \\ 4\sqrt{3}\cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{4}{\sqrt{3}} \\ 4\cdot 4 = a^2\\ \begin{matrix} a^2 = 16 & /\sqrt{\hspace{1em}} \end{matrix}\\ a=4 \] Długość krawędzi podstawy to 4.

Prawidłowa odpowiedź to odpowiedź B.

Drukuj

Polub nas